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1、word第二章 维纳滤波与卡尔曼滤波2.1 引言 信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，我们需要寻找一种所谓有最优线性过滤特性的滤波器。这种滤波器当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能准确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。 维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波)方法。 实际上这种线性滤波问题，可以看成是一种估计问题或一种线性估计问题。 一个线性系统，如果它的单位样本响应为h(n)，当输入一个随机信号x(n)，且(2.1)其中s(n)表示信号，表示噪声，如此输出y(n)为(2.2)我们希望x
2、(n)通过线性系统h(n)后得到的y(n)尽量接近于s(n)，因此称y(n)为s(n)的估计值，用表示，即(2.3)图2.1 维纳滤波器的输入输出关系如图2.1所示。这个线性系统称为对于s(n)的一种估计器。 实际上，式(2.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值x(n)，x(n-1)，x(n-2)x(n-m)，来估计信号的当前值。因此，用进展过滤的问题可以看成是一个估计问题。由于我们现在涉与的信号是随机信号，所以这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。 一般，从当前的和过去的观察值x(n)，x(n-1)，x(n-2)，估计当前的信号值称为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或将来的
3、信号值称为预测或外推；从过去的观察值，估计过去的信号值称为平滑或插。因此维纳过滤与卡尔曼过滤又常常被称为最优线性过滤与预测或线性最优估计。这里所谓“最优与“最优是以最小均方误差为准如此的。本章仅讨论过滤与预测问题。 如果我们以分别表示信号的真值与估计值，而用e(n)表示它们之间的误差，即(2.4)显然，e(n)可能是正的，也可能是负的，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方值来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计平均值最小：最小(2.5)采用最小均方误差准如此作为最优过滤准如此的原因还在于它的理论分析比拟简单，不要求对概率的描述。并且在这种准如此下导出的最优线性系统对其它很广泛一
4、类准如此而言也是最优的。 维纳过滤与卡尔曼过滤都是解决最优线性过滤和预测问题，并且都是以均方误差最小为准如此的。因此在平稳条件下，它们所得到的稳态结果是一致的。然而，它们解决的方法有很大区别。维纳过滤是根据全部过去的和当前的观察数据来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数H(z)或单位样本响应h(n)的形式给出的，因此更常称这种系统为最优线性过滤器或滤波器。而卡尔曼过滤是用前一个估计值和最近一个观察数据(它不需要全部过去的观察数据)来估计信号的当前值，它是用状态方程和递推的方法进展估计的，它的解是以估计值(常常是状态变量值)形式给出的。因此更常称这种系统为线性最优
5、估计器或滤波器。维纳滤波器只适用于平稳随机过程，而卡尔曼滤波器却没有这个限制。维纳过滤号和噪声是用相关函数表示的，因此设计维纳滤波器要求信号和噪声的相关函数。卡尔曼过滤号和噪声是状态方程和量测方程表示的，因此设计卡尔曼滤波器要求状态方程和量测方程(当然，相关函数与状态方程和量测方程之间会存在一定的关系，见图2.13与例3)。卡尔曼过滤方法看来似乎比维纳过滤方法优越，它用递推法计算，不需要知道全部过去的数据，从而运用计算机计算方便，而且它可用于平稳和不平稳的随机过程(信号)，非时变和时变的系统。但从开展历史上来看维纳过滤的思想是40年代初提出来的，1949年正式以书1的形式出版。卡尔曼过滤到60
6、年代初才提出来2，它是在维纳过滤的根底上开展起来的，虽然如上所述它比维纳过滤方法有不少优越的地方，但是最优线性过滤问题是由维纳过滤首先解决的，维纳过滤的物理概念比拟清楚，也可以认为卡尔曼滤波仅仅是对最优线性过滤问题提出的一种新的算法。2.2 维纳滤波器的离散形式(I) 时域解 维纳过滤最初是对连续信号用模拟滤波器的形式出现的，而后才有离散形式。我们这里仅讨论维纳滤波的离散形式。 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位样本响应h(n)或传递函数H(z)的表达式，其实质是解维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程。在要求满足因果性即物理可实现性的条件下，求解维纳-霍夫方程是一个典
7、型的难题。本节我们在时域求最小均方误差下的h(n)，并用表示。按图2.1与式(2.1)、(2.2)、(2.3)有一个物理可实现的h(n)，必须是一个因果序列，即h(n)=0 当n0因此上式的求和上下限应从0到，即(2.6)上式可看成输出等于现在和过去各输入的加权之和。为了讨论方便，上式可写成如下形式：(2.7)式(2.7)与式(2.6)有如下关系：(2.8)于是(2.9)现在的问题是需要求得使最小的，为此，将上式对各hi求偏导，并令其结果等于0，得即(2.10) 式(2-10)称为正交性原理，这是借用当二个矢量正交时它们的点乘等于零的关系。正交性原理也可以借用几何图形表示，如图2.2所示。正交
8、性原理容易用i的求和项数为2的特殊情况予以推广来理解。在此情况下，共有的平面中，而e如此垂直于此平面，于是，此时e的长度最短。图2.2 用几何图形理解正交性原理即是满足最小均方误差的估计值。因而我们可以从式(2.10)中解得。 如果令分别为x的自相关函数和x与s的互相关函数，代入式(2.10)得正交性原理的另一表达形式是(2.11) 如果我们将式(2.8)的关系代回式(2.10)与式(2.11)，如此式(2.10)与式(2.11)分别成为(2.12)与(2.13)式(2.11)与式(2.13)称为维纳-霍夫方程(离散形式)。从维纳-霍夫方程式中解出h，它就是在最小均方误差下的最优。 注意式(2
9、.13)(或式(2.11)有一个约束条件，因此，虽然在式(2.13)中的h(k)与有卷积的形式，但是我们不能简单地将式(2.13)应用卷积定理变换到z域求H(z)，然后从H(z)的反z变换求得h(k)。有了这个约束条件，要从维纳-霍夫方程求解最优h(k)就变得困难。式(2.13)中的约束条件是来源于我们假设了h(n)是一个物理可实现的因果序列。如果不加物理可实现的约束，式(2.13)中的的约束条件也将不复存在。因此非因果的维纳-霍夫方程为(2.14)它没有约束条件，我们容易把它变换到z域得(2.15)或(2.16)从式(2.12)来看，的约束就是只能取过去和当前的的读数。如果从的估计值，并不要
10、求在当时立即得到，而许可在将来(经过等待或滞后)得到，那么式(2.6)的求和下限就不限制在m=0而可以允许m0，此时，就没有h(m0的约束了。 但是，如果我们不容许上述等待或滞后，那就必须考虑因果性约束，此时可以用如下方法来逼近，从而得到方程(2.13)的解。 设h(n)是一个因果序列可以用有限长(长度为N)的序列去逼近它，此时式(2.6)，(2.7)，(2.10)，(2.11)，(2.13)分别成为或(2.17)(2.18)或(2.19)于是我们可以将式(2.19)的维纳-霍夫方程写成矩阵形式。为此先将式中j=1, 2, , N分别代入，写成N个线性方程：(2.20)于是，它的矩阵形式为(2
11、.21)式(2.21)为维纳-霍夫方程的矩阵形式，其中(2.22)式(2.22)中h1, h2, , hN为h(n)序列在n=0, 1, , N-1时的值。(2.23)称为x的自相关矩阵。(2.24)称为x与s的互相关矩阵。从式(2.21)可解出(2.25)由此可见，用有限长的h(n)来实现维纳滤波器时，当，就可以按式(2.25)在时域解得满足因果律的。但是，当N大时，计算工作量很大，需要知道并计算与其逆矩阵。当N大时，对计算机的存储量要求也很大。如果在计算过程中想增加h(n)的长度N来提高逼近精度时，就需要在新N的根底上重新进展计算。因此，最小方差准如此的维纳滤波器，用有限冲激响应的FIR滤
12、波器来实现，并不是有效的方法。2.3 维纳滤波器的离散形式(II)z域解 在上一节我们讨论到，当要求维纳滤波器单位样本响应h(n)是一个物理可实现的因果序列时，所得到的维纳-霍夫方程式(2.13)将附有的约束条件。在此约束条件下，式(2.13)不能直接转入z-域求解它的。这使得在要求满足物理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十分困难的问题。在本节中我们将利用把x(n)加以白化的方法来求维纳-霍夫方程的z域解(这种方法是由波德(Bode)和香农(Shannon)首先提出的)。为此，先引入信号模型的概念。 任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声激励一物理网络所形成。一般信号
13、s (n)的功率谱密度是z的有理分式，故s (n)的信号模型可用图2.3表示，其中A(z)表示信号s (n)的形成网络的传递函数。由于白噪声的自相关函数与功率谱密度分别为所以s(n)的功率谱密度可表示为(2.26) 由于的信号可表示成图2.4的形式。 如果x (n)的功率谱密度也为z的有理分式，我们可以将x (n)的信号模型直接表示成图2.5的形式，其中B (z)是x (n)的形成网络的传递函数。同样，有(2.27)为了白化x (n)，我们将直接用图2.5的信号模型。图2.3 s(n)的信号模型 图2.4 x(n)的信号模型图2.5 维纳滤波器的信号模型 按式(2.27)，如果是在圆的一对共轭
14、极点(或零点)(设)，如此必是在圆外的一对相应的极点(或零点)，如图2.6所示。今令B(z)是由圆的零极点组成，如此是由相对应的圆外的零极点组成。故B(z)是一个因果(或物理可实现)的并且是最小相移的网络。或(2.28)由于B(z)是一个最小相移网络函数，故1/B(z)也是一个物理可实现的最小相移网络，因此可以利用式(2.28)的关系白化x(n)。 将图2.1重画于图2.7(a)，如前所述，设计维纳滤波器的问题就是求在最小条件下的最优H(z)的问题。为了便于求得这个Hopt(z)，将图2.7(a)中的滤波器分解成二个串联的滤波器：1/B(z)与G(z)，如图2.7(b)所示，于是图2.6 B(z)是由单位圆的图2.7 得用白化x(n)的方法求零极点组成，B(z-1)是由对应 解维纳-霍夫方程的单位圆外的零极点组成。(2.29)其中B(z)由在单位圆的零极点组成。信号的即可按式(2.27)求得B(z)(或1/B(z)，它是一个物理可实现的因果系统。于是，求在最小均方误差下的最优Hopt(z)的问题就归结为求最优G(z)的问题了。我们可以对G(z)加以因果性或非因果性
