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1、圆锥曲线的综合问题（一）最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的思想方法；2. 了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线 C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax + By + C= 0（A, B不同时 为0）代入圆锥曲线 C的方程F（x,y）= 0,消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量 y）的一元方程，Ax + By + C = 0 ,即消去 y,得 ax2 + bx + c = 0.F （x, y）= 0（1）当a丰0时，设一元二次方程 ax2 + bx + c= 0的判别式为A,则A0?直线与圆锥曲线 C
2、 相交；A= 0?直线与圆锥曲线C相切Av 0?直线与圆锥曲线C相离.当a = 0 , b工0时，即得到一个一次方程，则直线 l与圆锥曲线 C相交，且只有一个交 点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行 C为抛物线， 则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 .2. 圆锥曲线的弦长 设斜率为k（k丰0）的直线I与圆锥曲线 C相交于A, B两点，A（xi, yi）, B（X2, y2），则| AB| =1 + k2| xi -X2|=1 + k2 、(X+ x2)2 4xx?-例题精讲（考点分析）考点一直线与圆锥曲线的位置关系2 2x y【例1】 在平面直角坐标系
3、xOy中，已知椭圆Ci:孑+ = 1(a b )的左焦点为Fi(1 , )，且点 P(0, 1)在 Ci 上.(1)求椭圆Ci的方程；设直线I同时与椭圆C1和抛物线C2: y2 = 4x相切，求直线I的方程.解(1)椭圆C1的左焦点为F1( 1 , ) , c = 1 ,又点P(, 1)在曲线C1上， 1石 +二=1，得 b = 1，贝V a2 = b2 + c2= 2 ,a b2x 2所以椭圆C1的方程为2+y2 = 1.(2)由题意可知，直线I的斜率显然存在且不等于，设直线I的方程为y = kx + m,消去 y，得(1 + 2k2)x2 + 4kmx + 2m2 2 = .y = kx
4、+ m因为直线I与椭圆C1相切，所以 = 16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 2) = .整理得2 k2 m2 + 1 = .2y = 4x,由消去 y，得 k2x2 + (2km 4)x + m2 = .y = kx + m因为直线I与抛物线C2相切, 所以 = (2km 4)2 4k2m2 = ,整理得 km = 1.2 2k = 2 , k = 2 ,综合,所以直线解得2 或2m =2 m = 2.I 的方程为 y = 2x +2或 y = 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为
5、零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解【训练1】 在平面直角坐标系 xOy中，点M到点F(1 , 0)的距离比它到y轴的距离多1. 记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线I过定点P 2 , 1)，若直线I与轨迹C恰好有一个公共点，求实数 k 的取值范围 解设点M(x , y)，依题意| MF| = | x| + 1 ,(x 1 ) 2 + y2 = | x| + 1，化简得 y2 = 2(| x| + x),4x (x 0 ),故轨迹C的方程为y2 = 0 (x v 0).在点 M 的轨迹 C 中，记 C1: y2 =
6、 4x(x0); C2: y = 0(xv 0).依题意，可设直线I的方程为y 1 = k(x + 2).y 1 = k (x + 2),由方程组 2y = 4x,可得 ky2 4y+ 4(2 k + 1) = 0.1当k = 0时，此时y = 1.把y = 1代入轨迹C的方程，得x =-.41故此时直线I: y= 1与轨迹C恰好有一个公共点 4，1当 k 工0 时，方程的 A= 16(2 k2 + k 1) = 16(2 k 1)(k +1)， 设直线I与x轴的交点为(xo, 0)，贝U2 k +1由 y 1 = k(x + 2)，令 y = 0，得 X。=.Av 0 ,1(i )若由解得k
7、 v 1，或k -.X0 v 0 ,2所以当kv 1或k 1时，直线I与曲线C1没有公共点，与曲线 C2有一个公共点，故此时直线I与轨迹C恰好有一个公共点.2k2 + k 1 = 0 ,A= 0 ,(ii )若即2k + 1解集为？.xo 0 ,v 0 ,k综上可知，当k v 1或k扌或k = 0时，直线I与轨迹C恰好有一个公共点考点二弦长问题2 2x y【例2】(2016 四川卷)已知椭圆E : 2 + 2 = 1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是a b直角三角形的三个顶点，直线I： y = x + 3与椭圆E有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设0是坐标原点
8、，直线I平行于0T,与椭圆E交于不同的两点 A, B，且与直线I交于点P证明：存在常数 入使得| PT| 2 3 =入PA| | PB|，并求入的值.(1)解由已知,2a=2b,则椭圆E的方程为x22b勺十 = 1.2“每=1,由方程组 2b b 得 3x2 12x + (18 2b2) = 0y= x + 3,方程的判别式为A= 24( b2 3)，由A= 0,得b2 = 3 ,此时方程的解为 x= 2 ,所以椭圆E的方程为2 2x y6十3 = 1点T的坐标为(2 , 1).(2)证明由已知可设直线1的方程为 y=+ m(m丰0),1由方程组y_ 2x十m，可得2mX = 2 丁，2my=
9、1+T2 m所以P点坐标为2 丁, 1 + 32mIPT|2 = |m2.x2设点A, B的坐标分别为A(X1, yi), B(X2, y2).-+必=16十3，由方程组可得3x4m4m 12由得 X1 十X2 = 丁 , X1X2 =3十4mx十(4m2 12) = 0.1y=_x 十 m,方程的判别式为 A= 16(9 2 m2),3込由 A0 ,解得一2 mb0)经过点(0, 3)，离心率为, a bw2涉及垂直关系时也可考虑用圆锥曲线左、右焦点分别为F1( c, 0), F2(c, 0).(1)求椭圆的方程；1若直线I: y = 2X + m与椭圆交于 A, B两点，与以F1F2为直径
10、的圆交于C, D两点，且满足I AB|I CDI求直线l的方程.解(1)由题设知解得 a = 2 , b = ：3, c= 1 ,椭圆的方程为x2由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2 + y2 = 1 , I CD| = 2 1 d2 = 241 - m54m2.圆心到直线1的距离d = 21 m|，由d v 1，得| m| vf.(*)设 A(xi, yi), B(X2, y2),1y=尹+m ,由 2 2得 X mx + m 3 = 0 ,x y “+= 1,4 3由根与系数关系可得 xi + X2 = m , xiX2 = m2 3.| AB | =1 +1 2-m2 4 (m2
11、 3)2154 |AB| 口 / 曰由顾=4 ，得54-m 2 = 1，解得 m = 半，满足(*)直线1的方程为y=考点三中点弦问题2 2【例3】(1)已知椭圆E : a + b = 1(a b 0)的右焦点为F(3 , 0)，过点F的直线交E于A, B两点.若AB的中点坐标为(1 , 1)，贝U E的方程为()xA. +45362 2x y B. += 136272 2x yC. += 1718X2D.18已知双曲线x2 = 1上存在两点 M , N关于直线y = x+ m对称，且 MN的中点在抛3物线y2 = 18 x上，则实数m的值为解析 (1)因为直线AB过点F(3 , 0)和点(1
12、 , 1),所以直线AB的方程为y =如3)，代入椭圆方程 牛+ a2232 = 1 消去 y，得+ b x2 a2x92 2 2+ a a b = O ,4所以AB的中点的横坐标为2a2吾=1,即 a2 = 2 b2,又 a2 = b2 + c2，所以 b = c = 3, a = 32，选 D.(2)设 M(xi, yi), N(X2, y2), MN 的中点 P(xo, yo),2 y2xi 7- = i ,xi + X2 = 2x0,yi + y = 2yo,1由一得 (X2 xi)(x2 + xi)= 3(y2 yi)(y2 + yi),y2 y i y2 + y iyo显然 xi 丰 X2.= 3，即 k mn =3 ,X2 xi X2 + xixot M , N 关于直线 y = x + m 对称， kMN = i ,m3m yo = 3xo.又Tyo = xo + m, P ,92m代入抛物线方程得 m = i8 ,i64解得m = 0或8，经检验都符合.答案(i)D (2)o 或一8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(i)点差法：即
