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1、2022年高中数学 2.2.2 等差数列通项公式优秀教案 新人教A版必修5一、备用例题【例1】 梯子最高一级宽33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.解：设an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知a 1=33，a 12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47cm，5
2、4 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.【例2】 已知成等差数列，求证：，也成等差数列.证明：因为，成等差数列，所以，化简得2ac=b(a+c)，所以有=.因而也成等差数列.【例3】 设数列an、bn都是等差数列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，求数列an+bn的第37项的值.分析：由数列an、bn都是等差数列，可得an+bn是等差数列，故可求出数列an+bn的公差和通项.解：设数列an、bn的公差分别为d1，d2，则(a n+1+bn+1)-(an+bn)=(a n+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2为常数，所以可
3、得an+bn是等差数列.设其公差为d，则公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10(37-1)=-250.所以数列an+bn的第37项的值为-250.点拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列.【例4】 在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加1 000美元；二是每半年结束时加300美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人，很容易选择前者，因为一年加一千美元
4、总比两个半年共加600美元要多.其实，由于加工资是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案共可以加得1 000+2 000=3 000美元；而第二种方案共可以加得300+600+900+1 200=3 000美元，但到了第三年，第一方案共可加得6 000美元，第二方案则共加得6 300美元，显然多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案.根据以上材料，解答下列问题：(1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？(2)如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a美元.问a取何值时，总是选择
5、第二种方案比选择第一种方案多加薪？答案：(1)在该公司干10年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8 000美元.(2)当a大于时，总是第二方案加薪多于第一种方案.【例5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块问切n刀，最多可切出几块?(要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结，并能勇于联想、探索)答案：.二、阅读材料一个古老的数学课题等差
6、数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个相等的常数，则称此数列为等差数列.在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的莱因特纸草书中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的泥板文书中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？在我国公元五世纪写成的张丘建算经中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤.比如书中第23题(用现代语叙述)：（1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一
7、日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？这是一个已知首项(a 1)、末项(an)，以及项数(n)求总数(S n)的问题，对此，原书提出的解法是：总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：Sn=(a 1+a n).印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：an=a1+(n-1)d.（2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？这是一个已知首项(a1)，总数(Sn)以及项数(n)，求公差(d)的问题，对此原书给出的解法是.等价于现在的求和公式：.书中第1题：今有某人拿钱赠人，
8、第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得100元，问人数多少？ 这是一个已知首项(a1)，公差(d)以及n项的平均数(m)，求项数(n)的问题，对此原书给出的解法是.我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(10311095)的梦溪笔谈中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法.垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积.垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果.九章算术中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比例方法来解决.公元5世纪末的张邱建算经给出了等差数列求和公式：S=n(a+1)与求公差的公式：.南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如S=12+22+32+n2= (n+1)(2n+1),S=1+3+6+10+ = n(n+1)(n+2)之类的垛积公式.北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式：.元朝数学家朱世杰在四元玉鉴和算学启蒙中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.
