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1、强化集训 3 反比例函数综合题类型一 反比例函数与一次函数结合1 k1(2021 烟台)如图，正比例函数 y x 与反比例函数 y (x0)的图象交于点 A，过点 A 作 ABy2 x轴于点 B，OB4，点 C 在线段 AB 上，且 ACOC.(1)求 k 的值及线段 BC 的长；(2)点 P 为 B 点上方 y 轴上一点， POC 与PAC 的面积相等时，请求出点 P 的坐标1解：(1)点 A 在正比例函数 y x 上，ABy 轴，OB4，点 B 的坐标为(0，4)，点 A 的纵坐标21 k是 4，代入 y x，得 x8，A(8，4)，点 A 在反比例函数 y (x0)的图象上，k4832，
2、2 x点 C 在线段 AB 上，且 ACOC.设点 C(c，4)，OC OB2BC2 16c2，ACABBC8c，16c28c，解得：c3，点 C(3，4)，BC3，k32，BC3；(2)如解图，设点 P(0，p)，点 P 为 B 点上方 y 轴上一点，OPp，BPp4，A(8，4)，C(3，1 14)，AC835，BC3，POC 与PAC 的面积相等， 3p 5(p4)，解得：p10，2 2P(0，10).3 3 k2(2021 成都)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y x 的图象与反比例函数 y (x4 2 x0)的图象相交于点 A(a，3)，与 x 轴相交于点 B.(1)求
3、反比例函数的表达式；(2)过点 A 的直线交反比例函数的图象于另一点 C，交 x 轴正半轴于点 D，当ABD 是以 BD 为底的等 腰三角形时，求直线 AD 的函数表达式及点 C 的坐标解：(1)反比例函数的表达式为 6y ；x x 2， 1 2 2 1 21 2 1 ABP1 3 1 2 33 3 3 3(2)如解图，过点 A 作 AEx 轴于点 E，在 y x 中，令 y0，得 x 0，解得：x2，4 2 4 2B(2，0)，E(2，0)，BE2(2)4，ABD 是以 BD 为底边的等腰三角形，ABAD， AEBD，DEBE4，D(6，0)，设直线 AD 的函数表达式为 ymxn，A(2，
4、3)，D(6，0)，2mn3， 6mn0，解得：3m ，49n ，2直线 AD 的函数表达式为y 3 9x ，联立方程组： 4 26y ，x3 9 y x ，4 2x24，解得： (舍去) 3 y13， y2 ，3点 C 的坐标为(4， ).2k3(2021 淄博)如图，在平面直角坐标系中，直线y k xb 与双曲线 y 相交于 A(2，3)，B(m，1 1 2 x2)两点(1)求 y ，y 对应的函数表达式；(2)过点 B 作 BPx 轴交 y 轴于点 P，求ABP 的面积；(3)根据函数图象，直接写出关于 x 的不等式 k xbkx的解集解：(1)双曲线的函数表达式为： 6y ，直线的函数
5、表达式为： 2 xy x1；(2)过点 A 作 ADBP，交 BP 的延长线于点 D，如解图，BPx 轴，ADx 轴，BPy 轴，A(2，3)，B(3，2)，BP3，AD3(2)5， 1 1 15 BP AD 35 ；2 2 2(3)2x0 或 x3.m4(2021 遂宁)如图，一次函数 y kxb(k0)与反比例函数 y (m0)的图象交于点 A(1，2)和1 2 xB(2，a)，与 y 轴交于点 M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在 y 轴上取一点 N，当AMN 的面积为 3 时，求点 N 的坐标；(3)将直线 y 向下平移 2 个单位后得到直线 y ，当函数值 y y y
6、时，求 x 的取值范围AMNA A 2 31 3 13 1 2 32解：(1)反比例函数解析式为 y ，一次函数解析式为 y x1；2 x 1(2)将 x0 代入 yx1 中得，y1，即 M(0，1)， 12MN|x |3 且 x 1，MN6，N(0，7)或(0，5)；(3)如解图，设 y 与 y 的图象交于 C，D 两点，y 向下平移 2 个单位得 y 且 y x1，y x1，yx1， 联立 2y ，xx1， 解得 或y2， x2，y1，C(1，2)，D(2，1)，y y y ，2x1 或 1x2.1 2 2 2类型二 反比例函数与几何图形结合1(2020 广州)如图，平面直角坐标系 xOy
7、 中，OABC 的边 OC 在 x 轴上，对角线 AC，OB 交于点 M， k函数 y (x0)的图象经过点 A(3，4)和点 M.x(1)求 k 的值和点 M 的坐标；(2)求OABC 的周长解：(1)k12，M(6，2)；(2)AMMC，A(3，4)，M(6，2)，C(9，0)，OC9，OA 3242 5，平行四边形 OABC 的周长为 2(59)28.2(2021 常德)如图，在 AOB 中，AOBO，ABy 轴，O 为坐标原点，A 的坐标为(n， 3 )，反k k比例函数 y 的图象的一支过 A 点，反比例函数 y 的图象的一支过 B 点，过点 A 作 AHx 轴于点 1 x 2 xH
8、，若AOH 的面积为32.(1)求 n 的值；(2)求反比例函数 y 的解析式解：(1)n1；(2)过点 B 作 BQx 轴于点 Q，如解图，AOBO，ABy 轴，BOQOAH，且 BQAH 3 ， BQ QO 3 QO ，即 ，QO3，点 B 位于第二象限，点 B 的坐标为(3， 3 )，将点 B 坐 OH HA 1 3k 3 3标代入反比例函数 y 中，k 3 3 3 3 ，反比例函数 y 的解析式为：y .2 x 2 2 2 x3(2021 河南)如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与坐标轴k平行，反比例函数 y 的图象与大正方形的一边交于点 A(1，2
9、)，且经过小正方形的顶点 B.x(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积2解：(1)反比例函数的解析式为 y ；x(2)小正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与坐标轴平行，设B 点的坐标为(m，2 2m)，反比例函数 y 的图象经过 B 点，m ，m22，小正方形的面积为 4m2x m8，大正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与坐标轴平行，且 A(1，2)，大正方形在第一象限的 顶点坐标为(2，2)，大正方形的面积为 42216，图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形 的面积1688.m4(2021 雅安)已知反比例函数 y 的图象经过点 A(2
10、，3).x(1)求该反比例函数的表达式；m(2)如图，在反比例函数 y 的图象上点 A 的右侧取点 C，过点 C 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H，过点xA 作 y 轴的垂线交直线 CH 于点 D.过点 A，点 C 分别作 x 轴，y 轴的垂线，两线相交于点 B，求证：O，B，D 三点共线；若 AC2OA，求证：AOD2DOH.6(1)解：反比例函数的表达式为 y ；x(2)证明：如解图，过点 A 作 AMx 轴于点 M，过点 C 作 CNy 轴于点 N，AM 交 CN 于点 B，连6 6 6 BM接 OB.A(2，3)，点 C 在 y 的图象上，可以设 C(t， )，则 B(2， )，D(t，3)，tan BOMx t t OM6t 3 DH 3 ，tan DOH ，tan BOMtan DOH，BOMDOH，O，B，D 三点共 2 t OH t线设 AC 交 BD 于点 J.ADy 轴，CBy 轴，ADCB，AMx 轴，DHx 轴，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形，ADC90，四边形 ABCD 是矩形，AJJCJDJB，AC2OA， AOAJ，AOJAJO，AJOJADJDA，ADCB，DOHADJ，JAJD， JADADJ，AOD2ADJ2DOH.
