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1、相量法在正弦交流电计算中的几个问题大家知道，用相量法来分析计算正弦交流电时，能把复杂的三角函数的加减 与微分积分运算，化为简单的复数代数运算。但在传统教材中，对于两个同频率 的正弦量相加，为什么能用对应相量相加来计算，阐述不是很清楚；计算交流电 路的功率问题，及求解交流电路中功率因数的提高时，却只采用了实数的方法。本文进一步探讨了在正弦交流电路计算中用相量法计算的理论基础；并提出 了用相量法(复数)来计算功率的方法，和用相量法来求解电感性电路中功率因 数的提高的方法，采用传统实数法求法不一样的角度来解决问题，更加促进了相 量法理论的统一与和谐。一相量法a论基础探讨传统教材中，讲解相量法分析计算
2、正弦交流电路中，一般分析电路中的e、 i、u均为正弦量，它具有有效值、初相位、同频率的特征。然后讲解正弦量可 以用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数来表示，从而同频率的正弦量可以 化为相应的相量(复数)来表示与计算。在含有电容和电感的电路中，又巧妙的 引入复数阻抗，从而把复杂的三角函数的微分积分运算转化为简单的复数乘除运 算。但在论述两同频率正弦量相加减，为什么可以转化为其对应相量相加减来计 算，阐述不是很清楚。下面就这个问题作深入的研究和证明，例子中只证明了电 流i的相加，其实也适用也电压u与电动势e的相加，当然也适用于相减的情况。(一)证明两同频率正弦量相加等价于两正弦理对应的相量相加证
3、明两同频率正弦量相加可以用相量式相加来表示。即证明如下问题：已知： 三个正弦交流量，i1=I 甘2 sin(wt+91)，i2=I2 *2 sin(wt+%)，i=K;2 sin(wt+9)，且 L+u=i。证明 i +1 = I。(另证明反过来 /1 212O_1 I +1 = I，i1+i2=i 也成立),一 z. J1I1212证：从i1+i2=i中套入已知的表达式，得PL * 2 sin(wt+91) +I2 v 2 sin(wt+2)= I v 2 sin(wt+)展开得Lsinwtcos + Lcoswtsin I2sinwtcos82 Icoswtsin.)+=Isinwtcos
4、+ Icoswtsin整理得sinwt (Lcosj I2cos92)+ coswt(I1sin1 I2sin92)= sinwtI cos+ coswtIsin11 + 2211+ 22从而可以推出以下两等式：I1cos1 +I2cos%= I cosI1s i n1+I2sIn92=I sin从可以推出，JI1sin91+jI2sIn92=jIsin9由两式左右分别相加，整理得Lcos Lcos + JLsin JLsIn = I coso+JIsino11 + 2211+ 22I1 (cos% +jsin%) +I2 (cos% +jsIn2) = I (cos+jsin)据欧拉公式，可
5、以化为：Iiej1 * I2ej92 = Iej即 +12 = I很明显，以上证明反过来也成立，故I +1 = I, +i疔i也成立。 1212（二）证明两正弦量相加用相量法计算与三角函数计算结果是一样的已知：并联电路中，L=I、2 （sinwt+0），i广I（sinwt+中），11 2122 22求：i=I、.2sin（wt+S。（即求其中的I和8，用I1 I29192表示）解：方法一：用三角函数式来计算i=i+i2=寸2 I1sin(wt+91)+I2sin(wt+92)cos%+I2coswt sin%)%. 2 (I1sinwtcos1+ I1coswtsin1+I2sinwt= v2
6、 sinwt(I1cos1+I2 cos2)+ coswt(I1sin1+I2 sin2)式两个同频率的正弦量相加，得到的仍然是一个同频率的正弦量i= v 2 Isin(wt+8) = v 2 (sinwtIcos+ coswtIsin)式对比式式可得，Icos 件 I1cos1+I2 cos% 式Isin= I1sin1+I2 sin2式综合式式得出：1I =(I cosq +1 cosq )2 + (I sinq +1 sinq )21 11221122I sin q +1 sin qW = arctg 1122I cosq +1 cosq方法二：用相量来计算把已知条件化为相量得I1 =
7、I1ejq1，I2 = I2ejq2，求1 = Iejq据并联电路特点：【- I1 + L I1ejq1 +七%=I cos+jI sin+ Lcos+iLsinon1 T 11 T 12 T 22 T 2=I cos。+ Lcoss+j(I sin。+Lsin)11 2211 22,把上面相量从代数式化为指数式得 . t I sinq+I2 sinq】I = ；(I cosq +1 cosq )2 + (I sinq +1 sinq )2rcgI1 cosq1 +I2 cosq2*11221122对比I = Iej q得出：I = t(I cosq +1 cosq )2 + (I sinq
8、+1 sinq )2、11221122_ I sin 中 +1 sin 中%I cos中 +1 cos中方法三：用相量图来分析从相量图来看，电流的有效值与初相位计算 方法，与上面的方法安全一致。可以看出，合正弦量的有效值I等于两分正弦量 实部与虚部分别相加，再分别取平方后相加，最 后求平方根。合正弦量的初相位就是9 实际中常用实数结合相量图来进行分析计算。结论：以上证明，清楚说明了同频率两正弦量相加减可以用它们对应的相量 相加减来表示与计算。二、用相量法来计算正弦交流电路的功率已知：正弦交流电中，电压为U = Uej览，电流为【=Iej%，u与i的相位 差为9=9192，S为视在功率，Q为无功
9、功率，P为有功功率。；解：设S*为复功率，电流I的共轭复数为I = Ie 押2则复功率的模就是视在功率S =1S* 1= UI电压、阻抗、功率三角形定义复功率S* = UI = UemIe-抑2 = UIe j（中1-中2）= UIe抑复功率的实部就是有功功率P = Re(S*) = UIcos甲复功率的虚部就是无功功率Q = Im(S*) = Ulsin甲结论：引入复功率以后，各种功率计算更加有规律可循。三相法求解交流电路中功率因数的提高已知：某电感性交流电路中，电路电压为u，原电流为iL，u与iL的相位差 为频率为f，原电路功率为P=UILcos叩若要把功率因素从cos91提高到cos%。
10、求：电路中应并联的多大的电容器C。解：方法一：实数计算法并联电容前后，因电容器不做功，故并联前后电路的有功功率不变，即P=UIL cosq =UI cos%，从而求出 IL 和 IIL=P/(U cos甲)式I=P/(U cos%) 式从相量图可以看出：I C= ILsin 甲Isinp2 式又据纯电容电路特点，ic=u/xc式XC=1/(2 n fC)式综合式得出C= P/2 n f U2 (tgp1 tgp2)方法二：相量计算法(即复数计算法)设u的初相位为0，则iL、i和ic的初相位分别为-甲】，-%和90。据并联电路的电流关系，有I +1 = IL C展开得：e 顷 1 + Icej9
11、0 = Ie 顷 2艮口 ILcos甲一 jILsin甲+ jI C= Icosp2 一 jIsinp2ILcos 甲j(ILsin 甲I C) = Icosp2jIsinp2据两复数相等的定义，可以推出，(一) 实部相等 ILcos甲=Icos%，所以 P=UIL cosp1 =UI cos%从而可以说明并联电容器后，电路中有功功率没有变，并可以求出IL和IIL=P/ (U cosp1)式I=P/ (U cos%)式(二) 虚部相等 一(ILsin甲一 I C) =一Isinp2贝I C= ILsinp1Isinp2式式和式代入式得：I C=PL sin甲/ (U cos甲)一P sinp/ (U cosp2)=P/U (tg甲一 tgp2) 式又据纯电容电路特点，ic=u/xc式XC=1/(2 n fC)式把式和式代入式，解得：C= P/2 n f U2 (tgp1 tgp2)对比：用实数法来求解问题时，要判断出电路的总有功功率不变，还要从右 边的相量图中推导出I C IL I三者的关系，难度比较大。而用相量法，不用看右 边的相量图，这些结论都可以从相量式中完全推导出来，只要判断一下三个电流 的相位关系就可以了，降低许多难度，纯粹是数学公式的推导，也比较有规律。
