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1、第3章 机械振动与机械波3-1判断下列运动与否为简谐振动?（1） 小球沿半径很大的水平光滑圆轨道底部小幅度摆动；（2） 活塞的往复运动;（3） 质点的运动方程为（4） 质点的运动方程为（5） 质点摆动角度的微分方程为 答：(1）是简谐振动,类似于单摆运动;(2）不是简谐振动； （)是简谐振动，为同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； (）不是简谐振动，为不同频率、同振动方向的两个简谐振动的合成； (5）不是简谐振动。2物体沿x轴作简谐振动,振幅=0.1，周期=2。当时,物体的位移x006，且向轴正方向运动。求:（1)此简谐振动的体现式；()时物体的位置、速度和加速度；(3）物体从向轴负方向运
2、动第一次回到平衡位置所需的时间。解:（1）设此简谐振动的体现式为:，则振动速度,振动加速度由题意可知:m,s,则(/) 又由于时m且，把初始运动状态代入有： ,则 又由于时，因此时 故此简谐振动的体现式为:m(2) 把代入简谐振动体现式：（m） 把代入简谐振动速度体现式:（m/s) 把代入简谐振动加速度体现式：(m/s2)（) 由旋转矢量法可知,物体在向轴负方向运动时,相位为，而物体从向轴负方向运动第一次回到平衡位置时,相位为,旋转的角度，则所需的时间为：=0.3(s）k2v习题3-3 图-3 如图示,质量为的子弹以速度水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动。设弹簧的劲度系数,木块
3、的质量为，桌面摩擦不计,试求:()振动的振幅;()振动方程。解：（1）子弹进入木块后，与木块一起做简谐振动,子弹与木块的作用时间短，在水平方向动量守恒且弹簧没有形变，设子弹进入木块后木块的位置为坐标原点,水平向右的方向为正方向,子弹进入木块后与木块的共同速度为，则,，代入数据得：（/），子弹与木块互相作用时，弹簧没有形变，即该简谐振动的初始位置，弹簧简谐振动的圆频率，代入数据得:（rad),因此代入数据得：m。(） 由时,且向X轴的正方向运动,因此，因此振动方程为: m3-4一重为p的物体用两根弹簧竖直悬挂,如图所示，各弹簧的劲度系数标明在图上。试求图示两种状况下,系统沿竖直方向振动的固有频率
4、。解：a图中两弹簧是串联的，总劲度系数， 弹簧振子的固有频率为。图中两弹簧是并联的,总劲度系数，弹簧振子的固有频率为。CRmgO-5 一匀质细圆环质量为，半径为,绕通过环上一点而与环平面垂直的水平轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期。解：设转动轴与细圆环的交点为坐标原点，过原点的竖直轴为轴,由转动轴定理可知,该圆环的小幅度摆动的平衡位置为圆环的质心在Y轴时，由平行轴定理可知，圆环对通过环上一点而与环平面垂直的水平轴的转动惯量为:把圆环沿逆时针方向拉离平衡位置转动，则圆环对转轴的重力矩为,方向为增大的反方向,由转动轴定理：,即，由于环做小幅度摆动，因此s，可得微分方程，摆动的圆频率为：，周期为
5、:36. 横截面均匀的光滑的U型管中有适量液体如图所示,液体的总长度为，求液面上下微小起伏的自由振动的圆频率。解:如图所示建立坐标，两边液面登高时为坐标原点，向上为Y轴正方向，左边液面上升y,则右边液面下降y,U型管的横截面面积为,液体的密度为，则左右液面的压力差为:，方向为Y轴的负方向,由牛顿第二定律：可知，,即,故液面上下微小起伏的运动为简谐振动,其振动的圆频率-7 如图一细杆B一端在水平槽中自由滑动,另一端与连接圆盘上,圆盘转轴通过o点且垂直圆盘和X轴,当圆盘以角速度做匀速圆周运动时，写出槽中棒端点B的振动方程,自行设计参数，运用mthematica软件或matla软件画出振动图线。解：
6、在AOB中,AB长度不变，设为，圆半径OA不变设为R,O与OB的夹角设为,则点的坐标满足关系式：上式表白，是时间的周期函数，但不是谐振动函数。取,画图如下。38质量为k的小球与轻弹簧构成的系统,按的规律作振动，式中以秒计，以米计。求:（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相;(2）振动的速度、加速度的最大值；（）最大答复力、振动能量、平均动能和平均势能;画出这振动的旋转矢量图，并在图中指明、2、10等各时刻的矢量位置。解:(1）由振动的运动学方程可知:振幅,圆频率rad/s，周期（s),初相位。(2)振动的速度:,振动速度的最大值为:(m)，振动的加速度:,振动加速度的最大值为:(m/s2)（)
7、最大答复力:（N),振动能量:(J）平均动能和平均势能:(J）3 质量为的物体,在弹性力作用下作简谐振动,劲度系数,如果开始振动时具有势能和动能,求：（1） 振幅多大？通过平衡位置的速度。（2） 位移为多大时,动能恰等于势能?解:（1）简谐振动能量守恒，其总能等于任意时刻的动能与势能之和，即，因此振幅()，在平衡位置时,弹簧为原长(假设弹簧座水平方向谐振动），此时只有动能,即(J),因此速度（m/).（2）要使(J),即(J)，则位移()。3 两个质点平行于同始终线并排作同频率、同振幅简谐振动。在振动过程中,每当它们通过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。求它们的位相差，并作旋转矢量图表达之
8、。解:设它们的振动方程为,OxA当时,可得位相为.由于它们在相遇时反相,可取，它们的相差为,同理当时,可得位相为，它们的相差为矢量图如图所示3-11 已知两个同方向简谐振动如下:，（1） 求它们合成振动的振幅和初位相；（2） 另有一同方向简谐振动，问为什么值时,的振幅为最大?为什么值时,的振幅为最小?为什么值时，的振幅最小?解:()由同频率、同方向的简谐振动合成可知:，其中，,因此它们的合振动振幅为:,它们合振动的初相位：。（2）由同频率、同方向的简谐振动合成可知，同相位振动，其合成振幅最大；反相位振动,其合成振幅最小。因此要使的振幅为最大，则；要使的振幅为最小,则时;要使的振幅最小，则。3-
9、三个同方向,同频率的简谐振动为,，求:（1)合振动的圆频率、振幅、初相及振动体现式;(2）合振动由初始位置运动到所需最短时间（为合振动振幅)。解：（)合振动的圆频率为（rads），()，根据公式得（)合振幅为:= 01(m),初位相为:。合振动的方程为：（2）当时，可得,解得或由于,因此只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0012(s）33 将频率为的原则音叉振动和一待测频率的音叉合成，测得拍频为,在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小,求待测音叉的固有频率。01212解:原则音叉的频率为：(Hz),拍频为：(z)，待测音叉的固有频率也许是:（Hz)，也也许是：(Hz)。在待测音叉
10、上加一小块物体时,相称于弹簧振子增长了质量,由于,可知其频率将减小.如果待测音叉的固有频率,加一小块物体后，其频率将更低，与原则音叉的拍频将增长;事实上拍频是减小的,因此待测音叉的固有频率，即7Hz。314火车提速是社会发展的必然趋势。如果你是火车提速的决策者之一,试问:从物理学角度,你会考虑哪些问题?答：铁轨的抗震能力、铁轨与火车共振时铁轨的耐压力等。315阐明如下几组概念的区别和联系： (1） 振动和波动;(2)振动曲线和波动曲线;（）振动速度和波动速度;解：（1）振动是物体在平衡位置做往复运动;波动是振动在介质中的传播； (2）振动曲线表达的是物体运动的位移随时间函数关系，用曲线表达；波
11、动曲线表达的某一时刻不同质元离开平衡位置的位移，用曲线表达。 (3）振动速度是描述物体运动的快慢，用表达；波动速度表达振动传播的的快慢,与介质和波的类型有关。3-16 已知一波的波函数为()（1）求波长、频率、波速及传播方向;(2）阐明时波函数的意义，并作图表达。解: （）与波函数的原则方程进行对比可知：波长()，t/sy/cm500.10.20.3频率(Hz），波速(m)，传播方向沿X轴的正方向。（2）当时波动方程就成为该处质点的振动方程：,振动曲线如图3-17 已知波的波函数为(I)（）写出时各波峰位置的坐标表达式,并计算此时离原点近来的波峰的位置，该波峰何时通过原点?（2）画出时的波形曲
12、线。解：(1）波峰位置时，则时,波峰位置的坐标为:;当时，为离原点近来的波峰位置。由波函数为可知波速为m/s,则该波从坐标原点传播到所用时间为(s）,该波峰在s时通过坐标原点。（)，该波动函数为:A-Au0.15 Ox/my/m38一平面波在介质中以速度 ms-沿负方向传播。已知在传播途径上的某点的振动方程为。(）如以点为坐标原点,写出波函数;（）如以距点5米处的点为坐标原点，写出波函数;（)计算B、C两点振动的相差。解：（)以A点为坐标原点,波动方程为:。（2）以B点为坐标原点,波动方程为:。（3)以A点为坐标原点，则m、m,、两点的振动方程分别为，,则、两点的振动的相差为:。3-19 一列
13、简谐波沿轴正向传播，在,时刻的波形如图所示。试求:(1）点的振动体现式；()波动体现式;(3）画出点的振动曲线。解：（)设P点的振动方程为：由题设可知：振幅m，波长m,由、时刻的波形图，可知该波在内,波向右传播了,则可知该波的周期s,波速ms,波的圆频率rad/。当时，即,由于波沿x轴正向传播，因此P点在此时向上运动,速度不小于零，因此P点的振动体现式为：（2)P点的位置是m,因此波动方程为：t/sy/m0.2O0.51(3）在x 0处的振动方程为:曲线如图所示.3-0一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅、圆频率分别为A和,波速为U，设t0时的波形曲线如图所示。(1)写出波函数求距0点分别为/8
14、，和3/8两处质点在t=0时的振动速度。解:（1）设该波的波函数为：，由时刻的波形图可知，且向下振动,故，因此波函数为:(2)振动速度:,把、和、分别代入振动速度体现式，则有:,3-21 一平面简谐波沿X轴正向传播，其振幅0，波的圆频率7ras-1,当t1.0s时，x=0cm处的a质点正通过其平衡位置向Y轴负方向运动,而=0处的B质点正通过Y5.m点向轴正方向运动。设该波的波长1cm，求该平面波的体现式。解:由题意和旋转矢量法可知在s时,质点的相位为,质点相位为，、两质点为相差为,因此该波的波长：，即cm，设该平面波的的体现式为:,由于s时，质点的相位为，因此，因此该平面波的的体现式为:3-22 一简谐波沿正向传播，波长,周期,已知处质点的振动曲线如图所示。(1)写出处质点的振动方程；（
