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1、第四讲 平面向量的解题技巧【命题趋向】由高考题分析可知:1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.2题目类型为一种选择或填空题，一种与其她知识综合的解答题.考察内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增长的内容之一，高考每年都考,题型重要有选择题、填空题,也可以与其她知识相结合在解答题中浮现,试题多以低、中档题为主透析高考试题，知命题热点为:.向量的概念，几何表达,向量的加法、减法，实数与向量的积平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义.3两非零向量平行、垂直的充要条件4图形平移、线段的定比分点坐标公式.5.由于向量具有“数”与“形”双重
2、身份,加之向量的工具性作用，向量常常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,解决有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6.运用化归思想解决共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等；运用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题.【例题解析】1. 向量的概念,向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义,理解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3）掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件.(4)理解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌
3、握平面向量的坐标运算.（5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,理解用平面向量的数量积可以解决有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式例1（北京卷理）已知是所在平面内一点,为边中点,且，那么（ ）BD.命题意图:本题考察可以结合图形进行向量计算的能力.解：故选.例（安徽卷)在中,，M为BC的中点,则_.(用表达)命题意图: 本题重要考察向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解:,因此，.例.(广东卷)如图1所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量( )（） (B） （） （D)命题意图: 本题重要考察向量的加法和减法运算能力.解：，故选A.例4. ( 重庆卷
4、)与向量=的夹解相等,且模为的向量是 ( ）() (B) 或（） （D）或命题意图:本题重要考察平面向量的坐标运算和用平面向量解决有关角度的问题解：设所求平面向量为由另一方面,当当故平面向量与向量的夹角相等故选B 例(天津卷)设向量与的夹角为，且,，则_.命题意图: 本题重要考察平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积解决有关角度的问题.解:例.(湖北卷)已知向量,是不平行于轴的单位向量,且，则 (） （A) (） (C） (D） 命题意图：本题重要考察应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设，则依题意有故选B.例7.设平面向量、的和如果向
5、量、,满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）（） (）() （D）命题意图: 本题重要考察向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念常规解法：, 故把2 （i=,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重叠，故，应选D巧妙解法:令=，则=，由题意知，从而排除，C,同理排除A，故选(D).点评:巧妙解法巧在取，使问题简朴化.本题也可通过画图,运用数形结合的措施来解决.2. 平面向量与三角函数，解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其她代数问题，由于结合性强,因而综合能力较强，因此复习时,通过解题过程,力求达到既回忆知识要点，又感悟思维措施的双重效果,解题要点是运用
6、向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.()解答题考察圆锥曲线中典型问题,如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例8.(陕西卷理1)设函数f（)=a-b,其中向量a(m,co2x),b=(+inx,），x,且函数y=f()的图象通过点，(）求实数m的值;（）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.解:(),由已知，得(）由(）得,当时,的最小值为，由，得值的集合为例2(陕西卷文17)设函数.其中向量（）求实数的值；(）求函数的最小值.解：（),得.()由（）得，当时,的最小值为.例（湖北卷理6)已知的面积为,且满足，设和的夹角为（I)求的取值范畴；（II）求函数的最大解：（)设中
7、角的对边分别为,则由,，可得,(）.,，.即当时，;当时,例0.(广东卷理) 已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为（3,4)、B(0，0)、C(,0） （1)若c=5，求sin的值；（)若为钝角，求c的取值范畴;解：(1)，若c=5， 则，,sin=;（）为钝角，则解得，c的取值范畴是例11(山东卷文17）在中,角的对边分别为.(）求；（2)若,且，求.解：（1) 又解得.,是锐角.（2)，,又.例12. （湖北卷）设函数,其中向量, . （)求函数的最大值和最小正周期; (）将函数的图像按向量平移,使平移后得到的图像有关坐标原点成中心对称，求长度最小的.命题意图：本小题重要考察平面向量数量积
8、的计算措施、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考察推理和运算能力 解:()由题意得,f（x）=()(sin，cox)(snx-,sinx3cos) =sin2x-sinxcos+3cos2os2xn2x+sin(2x).因此，f(x)的最大值为，最小正周期是=.(）由sin(2x+)0得2x，即,kZ,于是=（，-2),k.由于为整数,要使最小,则只有k=1,此时（,2）即为所求.例13（全国卷II)已知向量=(si，1),=（1,cos)，-（）若，求;()求|的最大值命题意图:本小题重要考察平面向量数量积和平面向量的模的计算措施、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考察推理和运
9、算能力解：(）若，则sin+cos0,由此得 tan=1(-0设A(1，y），B(x2,y2)由，即得 (-x,-y)(x2,2-), 将式两边平方并把1=x12,y2x2代入得y2 解、式得y1,y2，且有x1x=22-4y24，抛物线方程为y=2，求导得y=x.因此过抛物线上A、B两点的切线方程分别是x1（x-x)+1,y=x2(x2)+y,即x1-x12,xxx22.解出两条切线的交点M的坐标为（，)=(,). 因此（,-2）(xx1，y2-y)（212)2(x22x12)=.因此为定值，其值为0.()由()知在AM中，FMB，因而S=|A|FM|F|=+由于F|、BF|分别等于、B到抛
10、物线准线=-1的距离，因此|AB|AF|B|1+y+22(+)2于是B|=（）3,由2知S4，且当=时,S获得最小值【专项训练与高考预测】一、选择题1已知的值为（ ）.-6B.6.D2已知AB中,点D在边上，且则的值是( ）AB.C-3D.0.把直线按向量平移后,所得直线与圆相切,则实数的值为（ A)A.39B13C21D.-394.给出下列命题:=，则=0或0. 若为单位向量且/，则=|.|3. 若与共线,与共线,则与共线.其中对的的个数是( ）AB.C2D在如下有关向量的命题中，不对的的是( ）A.若向量(x，y)，向量=（y,x)(x、y0），则ab.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且|=|.点G是AB的重心,则+=0DABC中,和的夹角等于1806.若为平行四边形BC的中心, =4e，= ,则221等于（ )A B C. D7.将函数y=x的图象按a=(，-2)平移后，得到的新图象的解析式为（ )A
