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1、平面向量的数量积A组专项基础训练、选择题（每小题5分，共20分）1.(2012辽宁)已知向量a=(1, 1), b=(2, x),若a b=1,则x等于2.3.4.A. - 1B -1B,2C.2(2012 重庆)设 x, yC R,向量 a=(x,1), b= (1, y), c=(2+ b|等于（）A乖 B.VW C. 已知向量a=（1,2）在AABC中,A. -2D. 14),且 ac, b / c,则|a2 小 D. 10b=(2, -3).若向量 c满足(c+ a)/b,c1(a+ b),则 c等于(B.73C.3, 97D.一9AB = 3,AC = 2bc=Vw,则ABAC等于B
2、.c.3D.2二、填空题（每小题5分，共15分）5 .已知向量a, b夹角为45,且冏=1, |2ab|=30,则同=6 .在 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 3, BC=10,则 A BA C =.7 .已知a=（2, 1）, b=（入3）,若a与b的夹角为钝角，则 入的取值范围是: 三、解答题（共22分）8 . （10 分）已知 a=（1,2）, b=（2, n） （n1）, a与 b 的夹角是 45.求b;（2）若c与b同向，且a与ca垂直，求c.9 . （12分）设两个向量e1、e2满足|e1|=2,囤=1, e1、e2的夹角为60,若向量2te1 + 7&与 向量e1 +
3、 te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.B组专项能力提升、选择题（每小题5分，共15分）1 .在 ABC 中，AB=2, AC=3, AB BC= 1,则 BC 等于()A./B巾C. 2J2d.7232 .已知|a| = 6, |b| = 3, ab=12,则向量a在向量b方向上的投影是()A. 4 B. 4 C. -2 D. 23.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2+ |PB|22|PC|2于（）A. 2B. 4C. 5D. 10、填空题（每小题5分，共15分）4 .设向量 a = (1,2m), b= (m+1,1), c= (2, m).若
4、(a+c)，b,则 |a|=5 .如图，在矩形 ABCD中，AB=42, BC = 2,点E为BC的中点，点f在边cd上，若ABAF=V2,则AEbF的值是.6 .在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM| |C N|B C| |C D|则AM AN的取值范围是三、解答题1.3，一7. （13分）设平面上有两个向量 a=（cos%sin ） （0 4依360 ）, b= 2,亍.（1）求证：向量 a+b与ab垂直；（2）当向量43a+b与a Qb的模相等时，求a的大小.平面向量的数量积参考答案A组专项基础训练1 .答案 D 解析 a b=(
5、1 , 1) (2, x) = 2 x=1? x= 1.2 .答案 B解析 . a=(x,1), b=(1, y), c=(2, 4),由 a，c得 a c= 0,即 2x 4= 0,x= 2.由 b/c,彳41X( 4)2y= 0,.y= 2.；a= (2,1), b= (1, -2). a+ b=(3, -1), . |a+b| = q32+ -1 2 =匹.3 .答案 D解析 设c= (x, y),则 c+ a=(x+1, y+2),又(c+ a)/b,. 2(y + 2) + 3(x+ 1)=0.又 c,(a+b),(x, y) (3, 1) = 3xy=0.联立解得 x= -7, y
6、= 7. 934 .答案 D解析 由于 AB AC= AB| |AC| cos/ BAC=1(|AB+ AC|2_ bC|2)=1 * (9+4 _ i0)=3.二、填空题(每小题5分，共15分)5 .答案 3/解析/a, b的夹角为45, |a|=1,202 c.a b=|a|b|cos 45 = 221b|, |2ab|2=4 4X普|b|+|b|2=10, . |b|= 3/2.6. 答案 16解析如图所示,AB = AM + MB,AC = AM + MC= AMMB,AB AC=(AM + MB) (AM MB)= AM2 MB2= |AM|2|MB|2=925= 16.一_ 33一
7、7.答案(一8, 6)U 6, 2解析 由a b0,即2入一30,解得K2,由a/b得:一 一 一 3 一6=力即上 一6.因此*2且入w6.三、解答题(共22分)8.解 (1)ab=2n 2, |a|=正，|b|=n2+4,2n-2 亚 02 cos 45 =oy .Bn216n12=0, 5=6 或 n= -a(舍)，.&=(-2,6).亚空+423(2)由(1)知，ab=10, |af=5.又 c与 b 同向，故可设 c= ?b (A0), (c a) a= 0,.、，2|a|2511,、 . /b a |a| =0, .入=b a =10= 2, .c=2b=( 1，3) 19.解.
8、e1 e2= |e1| |e21cos 60= 2X1X/=1, . (2te + 7e2) (e1 + te2)=2te2 + 7te2+(2t2+7)& e2= 8t+7t+2t2+7 = 2t2+15t+7.1 ,由已知得2t2+15t+70,解得一7t2.当向重2te1 + 7e2与向重e1 + te2反向时,设 2te1 + 7e2 =七1 + te2), , . |a| cosa, b = 4.3 .答案 D解析 . PA=CACP,|fa|2=ca2-2cp cA+cp2.pB=cb-cp, . .|pb|2=cb2-2cp cb+cp2. - |pA|2+|PB= (CA2+C
9、B2)-2CP (CA+ CB) + 2CP2 = aB2-2CP 2CD + 2CP2.又AB2 = 16CP2, CD = 2CP,代入上式整理得|PA|2+|PB = i0|CP|2,故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4 .答案 应解析 利用向量数量积的坐标运算求解.a+c=(1,2m) + (2, m) = (3,3m).(a+c) b,. . (a+c) b=(3,3m) (m+1,1)=6m+3 = 0, 1 m= 2 , a (1, 1), |a| (2.5 .答案 也解析 方法一 坐标法.以A为坐标原点，AB, AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(
10、0,0), B(72, 0), E(亚，1), F(x,2).故AB=(啦，0), AF = (x,2), AE=(也，1), BF=(x-V2, 2), AfeAF=(啦，0) (x,2) = V2x.又AB AF =啦，.=1.；酢=(1-爽，2).AEBF=(啦，1)(1-/，2)=痘-2+2 =也.方法二 用AB, bC表示aE, bF是关键.设DF = xAfe,则CF = (x i)aB.2 22 2 272 22AB AF = AB (AD+DF) = AB (AD+xAB) = xAB2=2x,又.迅3人5 = 42, . .2x=2, /12/2 y/2.x=玄. BF=BC
11、+CF=BC+亍1AB. .AE BF = (AB+BE)BC+看1AB=ab+2bc bc+ -22-1 Ab=乎1 AB2+1BC2=乎1 *2 + 94 =阪6.答案1,4解析 利用基向量法，把AM,晶都用丽，aD表示，再求数量积.如图所示，|BMJ_|CN| 坟嬴T前=X0-rCN= CD, DN = CN-CD = (A 1)CD, AM aN=(aB+bM)(aD + dN)=(aB+ bc) taD +(x- i)CD =(入-i)AB CD+ Be AD= 4(i+上43% .当 仁0时，AM AN取得最大值4；当 仁i时，aM AN取得最小值 i.；AM ANe i,4.三、
12、解答题一999999i 37. (i)证明(a+b) (ab)= a b = |a| |b| = (cos a+ sin o) 4+4 =0,故向量a+b与ab垂直.(2)解 由 N3a+b| = |a 43b|,两边平方得 3|a|2+2“3a b+|b|2= |a|223a b+3卜|2, 所以 2(|a|2|b|2) + 4V3ab = 0,而|a| = |b|,所以 ab = 0,即 一J cos a+ * sin a= 0,即 cos(a+ 60)=0, .二什 60= ki80 490, k Z,即 a= k i80 4 30 , k Z,又 0 V a360 ；则 a= 30 或声 2i0 :
