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1、最新版教学资料数学8.4直线与圆、圆与圆的位置关系1 直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0 (A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2 (r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为. 方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r (r20) 方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1 判
2、断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(5)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(6)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()2 (2013安徽)直线x2y50被圆x2y22x4y0
3、截得的弦长为()A1 B2 C4 D4答案C解析圆的方程可化为(x1)2(y2)25，圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1，截得弦长l24.3 圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条 B2条 C3条 D4条答案B解析C1：(x1)2(y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12.C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，半径r22.|C1C2|，|r1r2|0|C1C2|1，解得k0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，
4、令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.方法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同方法一方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|2R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两
5、个交点(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.思维升华(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法(1)若直线axby1与圆x2y21相交，则P(a，b)()A在圆上 B在圆外C在圆内 D以上都有可能(2)直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的位置关系是()A相离 B相切或相交C相交 D相切(3)在平面直角坐标系
6、xOy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_答案(1)B(2)C(3)(13,13)解析(1)由1，点P在圆外(2)圆x2y22y0的圆心是(0,1)，半径r1，则圆心到直线l的距离d1.故直线与圆相交(3)根据题意知，圆心O到直线12x5yc0的距离小于1，1，|c|13，c(13,13)题型二圆的切线与弦长问题例2已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值思维启迪在求过某点的圆的切
7、线方程时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法解(1)圆心C(1,2)，半径r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.圆的切线方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意得2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，()2()24，解得a.思维
8、升华(1)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为标准方程为(x2)2(y6)216，圆C的圆心坐标为(2,6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，|AD|2，|
9、AC|4.C点坐标为(2,6)在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.故直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.题型三圆与圆的位置关系例3(1)已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_(2)两圆x2y26x6y480与x2y2
10、4x8y440公切线的条数是_(3)已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_思维启迪求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来答案(1)x2y40(2)2(3)x解析(1)两圆的方程相减得：x2y40.(2)两圆圆心距d0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，则MN时，a的最大值与最小值分别为_、_.思维启迪本题条件MN反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解解析因为集合M(x，y)|y，a0，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1a的上半圆同理，集合N表示以O(1，)为圆心，半径为r2a的圆上的点这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO|2.如图所示
