不定积分概念及性质

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定义1设为某区间I上的函数,如果存在函数 ,使在该区间上有 或 ,则称 为 在区间I上的一个原函数。如: ,则 是 的一个原函数; ,则 是 的一个原函数; 例1 设 的一个原函数是 ,则 _.原函数存在定理 如果 在区间I上连续,则在区间I上 的原函数一定存在。说明:如果 是 在区间I的一个原函数,显然 ( 为任意常数)也是 的原函数,这说明 如果存在原函数,应有无穷多个, 的全体原函数是一个函数族。 为 全体原函数的一般表达式。定义2设 是 在区间I的一个原函数,则 的全体原函数 称为 在区间I的不定积分,记其中叫积分号, 叫被积函数, 叫被积表达式, 叫积分变量,为任意常数叫积分常数。例2 例3 时,性质1 或 或 性质2 ( 是常数,) 性质3 例4 解 原式= 例5 例6 解 原式= 例7 解 原式= 例8 解 原式= 例9 解 原式= 例10 有一通过原点的曲线 ,其上任一点 处的切线斜率为 , 为常数,且知其拐点的横坐标为-1/3,求曲线方程。解 由题意: 故:因曲线通过原点,得:c=0,又: ,而拐点的横坐标为-1/3,故:从而 所以所求曲线方程为:例11 已知 求 .解法一 解法二 令 ,则: 。于是

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