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1、高三数学 不等式的性质、不等式证明 知识精讲 通用版【本讲主要内容】 不等式的性质、不等式证明【知识掌握】【知识点精析】实数集与数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a、b，ab，ab，ab三者中有且只有一式成立：abab0，abab0，abab0。 在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础，要熟练掌握。 对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种： 1. 比较法，这是直接利用不等式的意义：ABAB0等等，有时为方便计，也使用其变种：AB等等。 2. 分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证明AB，
2、我们就由BCDA，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为：B C D ，A由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，与原命题正确与否不相干。 3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，逐次推出结论成立。 4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采用数学归纳法等。证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、条件的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应
3、的步骤，技巧和语言特点，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。在诸多方法中，最基本的方法是比较法，它的一般步骤是：作差（商）变形判断符号（值）。变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。综合法也是常用的方法之一，在证明时常常用到如下公式：（1）2ab（a，bR） （2） （3）2（ab0）（4） （5）若a，bR，则|a|b|ab|a|b|【解题方法指导】例1. 设a0，b0，求证：（）（）a+b。剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。证法
4、一：左边右边（）0。原不等式成立。证法二：左边0，右边0，1。原不等式成立。评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二。要注意的是，作差对两个式的值的符号没有要求，作差后的式子与0进行大小比较；而作商通常对两个式子的值的符号有要求，作商后的式子与1进行大小比较。例2. a1、b1、a2、b2 R，求证：（a12+a22）（ b12+b22）（a1b1+a2b2）2。剖析：这是“柯西不等式”在n2时的特殊情况，我们利用它来回顾一下常用的几种证明方法：证法一（作差比较法）：左右（a12b1
5、2+a22b22+a12+b22+a22+b12）（a12b12+a22b22+2a1b1a2b2）a12b222a1b2a2b1+a22b12（a1b2a2b1）20。原不等式成立。证法二（判别式法）：（a1x+b1）2+（a2x+b2）20恒成立。（a12+a22）x2+2 （a1b1+a2b2）x +（b12+b22）0恒成立。若a12+a220，则4（a1b1+a2b2）24（a12+a22）（b12+b22）0（a12+a22）（b12+b22）（a1b1+a2b2）2。若a12+a220，则a1a20，原不等式左、右均为0，也成立。其它方法如：分析法：左a12b12+a22b22+
6、a12b22+a22b12，右a12b12+a22b22+2a1a2b1b2，要证原式，只要证明a12b22+a22b122a1a2b1b2，即可综合法：a12b22+a22b122a1a2b1b2，两边同加a12b12+a22b22。构造法：作向量a（ a1，a2），b（ b1， b2），由向量的数量积的性质可得（a）2（b）2（ab）2，代入坐标立得。几何法：在直角坐标系内取点A（a1，a2）B（b1，b2），则OA+OBAB（+）2（）2亦即（a1b1+a2b2）右边为负时当然成立，非负时平方即得。评讲：这一问题的解决方法说明了不等式证明方法的多样性及灵活性。另外，这个不等式也是一个重要
7、的基本不等式，只不过它只是出现在课本的例习题中，在今后的学习中，我们也可以直接使用这个不等式解决有关问题。最后大家想一想：这样的实数增加到3对、4对，上面的方法还都有效吗？例3. 已知ab0，求证：剖析：不等式的运算形式是比较复杂的，一眼看不出从哪儿下手，这时可以用分析法对不等式变形。证明：若证原不等式成立，只要证：只要证明，只要证只要证，只要证只要证，即证，即证成立ab0此式显然成立，又以上各步均可逆。原不等式成立。评讲：分析可以让我们揭开一个不等式的真面目。同学们要注意的是在使用分析法时，一定按照规范的格式书写。【考点突破】【考点指要】高考考纲要求：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩
8、展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值逐渐减少，但在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。关于不等式证明的内容年年都有，大部分是间接考查不等式的证明，有时也直接考查。年份题号分值占总分比例题型考查内容200120128%解答题不等式证明与排列组合二项式定理综合2002全国2214
9、9.5%解答题不等式证明与数列知识综合2002北京18128%解答题与立几何结合考查不等式证明方法中的比较法2002北京19128%解答题不等式证明与数列知识综合2020江苏22149.5%解答题不等式证明与二次函数，数列等知识综合2020北京20149.5%解答题不等式性质，证明等综合应用2020江苏22149.5%解答题不等式证明与函数知识综合2020福建21128%解答题不等式证明与函数、导数等知识综合2020北京20139%解答题不等式证明等基本知识2020全国22149.5%解答题不等式证明与数列知识综合2020辽宁21149.5%解答题不等式证明与函数知识综合2020湖南22149
10、.5%解答题不等式证明与数列知识综合2020重庆22149.5%解答题不等式证明与数列知识综合2020全国13419%填空题不等式与指数的综合1912解答题不等式证明与数列知识综合2212解答题不等式证明与函数知识综合2020全国22128%解答题不等式证明与数列知识综合证明不等式是理科（或文理合卷的省、市）考查的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，同学平时练习题与高考试题差距较大，所以我们在学习时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习，另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能。【典型例题分析】例4. （2002年北京）数列xn由下列条件确定： （）证明：对
11、n2，总有； （）证明：对n2，总有。 证明：（）（均值不等式的应用综合法）：由，可归纳证明 从而有，所以，当n2时，成立。 （）证法一（作差比较法）：当n2时，因为， 所以，故当n2时，成立。证法二（作商比较法）：当n2时，因为，所以故当n2时，成立。评讲：此题是以数列为知识背景，把数列与不等式证明综合起来，重点还是考查不等式证明方法中最基本的方法综合法和比较法。例5. （2001，全国，理，20）已知i，m，n是正整数，且1imn （I）证明：niAmi（1+n）m证明：（1）对于1im，且A m（mi+1），由于mn，对于整数k1，2，i1，有，所以（2）由二项式定理有 （1+m）n1+
12、Cm+Cm2+Cmn，（1+n）m1+Cn+Cn2+Cnm，由（1）知miAniA （1im，而CmiCinniCim（1mnm0Cn0C1，mCnCmn，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即（1+m）n（1+n）m成立 评讲：在第一问中一定要弄清符号Ami的意义，把要证的式子用“隔离参数”的思想变形为，再比较两边对应的比值即可。在第二问中要注意使用第一问的结论，把排列数之间的不等关系转化为组合数之间的不等关系。例6. （2002江苏，22）已知a0，函数f（x）axbx2。（1）当b0时，若对任意xR都有f（x）1，证明
13、a2；（2）当b1时，证明：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2；（3）当0b1时，讨论：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件。证明：（）依设，对任意xR，都有f（x）1，f（x），1，a0，b0，a2。（）证明：必要性对任意x0，1，|f（x）|11f（x），据此可以推出1f（1），即ab1，ab1；对任意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因为b1，可以推出f（）1，即a11，a2；b1a2。充分性因为b1，ab1，对任意x0，1，可以推出axbx2b（xx2）xx1，即axbx21；因为b1，a2，对任意x0，1，可以推出axbx22xbx21，即axbx21。1f（x）1。综上，当b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2。（）解：因为a0，0b1时，对任意x0，1：f（x）axbx2b1，即f（x）1；f（x）1f（1）1ab1，即ab1，ab1f（x）（b1）xbx21，即f（x）1。所以，当a0，0b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是ab1。评讲：在证明的过程中要注意结合二次函数特殊的性质，不等式对所给区间上的任意一个值都成立，当然对一个特殊值（比如：顶点处）也成立，这样我们就把一个一般的函数不等式变为我们所需要的不含变量x的不等式。
