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1、双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题:(a) 阶线性双曲型方程ut(b) 阶常系数线性双曲型方程组u A u cA 0 t x其中A，s阶常数方程方阵，u为未知向量函数。(c)二阶线性双曲型方程(波动方程)2uu c迂 a x0t xxa x为非负函数(d)二维，三维空间变量的波动方程2ut722uu c2 0xy2uc0z 1波动方程的差分逼近 1.1波动方程及其特征 线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程:2(1.1)2 U a 2 x其中a 0是常数。2(1.1)可表示为：十22 Ua 2x进一步有/ dudt(1.3)a t xu dxx dtdxdtu、a -)xa 时
2、为 u x, t 的全导数，故由此定出两个方向dtdx解常微分方程（1.3）得到两族直线(1. 4)x a tC|和 x a tC2称其为特征。特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法）将（1.4）视为（x,t）与（g，C2）之间的变量替换由复合函数的微分法则uC1C1xu C2xC2C1uC2同理可得Ci2ug2CiC2CixC2u_uC2C1 C2xCiC1 c22uC2 C1c222-uC1uG_u_Gt C2C2C2t2_uc；uC22Ciu uC2C1C1uCIuCIuC2C1tC2 G2uCl2uC1 C2
3、C22将聲和x1.1)可得:即有22ua2C1222 G C22G C22uCI求其对C2的积分得：uC1再求其对Ci的积分得:(1.5)u x,tf G dCi2uC1 C2f Ci其中fC1f1 C1f2 C2是Ci的任意可微函数。1 x at2 x at其中fi ?和f2?均为任意的二次连续可微函数。（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。为了确定函数f1 xat 和 f2 xat的具体形式，给定u在x轴的初值(1.5)ut 0 u t将（1.5）式代入上式，则有f1 x注意 ut x, tf1 x at aat a ；ut x, 02 xf1 x a1 x，有2 xf1
4、x11 X a并对x积分一次，得与（i）式联立求解，得f1 x将其回代到通解中，即得(1.6)u x, t1212(1.1)12 0xx2a 01 x2a 0 1在(1.5)at o xC2C2条件下的解：1 x atat12a x at即为法国数学家Jea n Le Ro nd d lembert (1717-1783)提出的著名的D Alembert 公式。由Dlembert公式还可以导出解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。如有两组初始条件:U1 x, 00 x ,U1t x, 00xxu2 x, 01 x ,u2t x, 01x0011满足，则u1
5、x, t u2 x, t-0 x at2at + 1 x2at1 x at12ax atx atd11 1u1 x,tu2x,t 22方2at 1 t显然，当t有限时，解是稳定的此外，由Dlembert公式可以看出，解在x。,t。点，t。0的值 仅依赖于x轴上区间Xo ato,x ato内的初始值 x ， 1 x，与其他点上的初始条件无关。故称区间xo ato,Xo ato为点Xo,to的依存域。它是过点Xg,to的两条斜率分别为1的直线在X轴上截得的区间。a对于初始轴t 0上的区间X1,X2，过冷点作斜率为丄的直线aX2x X1 at ；过X1点作斜率为 1的直线x X2 at。它们和区间捲
6、飞一a起构成一个三角区域。此三角区域中任意点x,t的依存区间都落在X1,X2内部。所以解在此三角形区域中的数值完全由区间X1,X2上的初始条件确定，而与区间外的初始条件无关。这个三角形区域称为区间X1,X2的决定域。在X1,X2上给定初始条件，就可以在其决定域中确定初值问题的解。1.2显格式现在构造（1.1）的差分逼近。取空间步长h和时间步长，用两族平行直线XXjjh ， j 0,1,2,， t tn 0,1, 2,作矩形网络于网点 xtn处Taylor展开成u Xj 1, tn 2u Xj, tn U Xj 1, tnh1Uxx Xj , tO h2u Xj , tn 1 2u Xj, tn
7、U Xj , tn 12utt Xj , tn代入（1.1），并略去截断误差，则得差分格式:n 1n n 1nn n(1.7)uj 2uj uj2 uj 1 2uj uj2 a2hj 0, 1,2,，n 0,1,2,这里u；表示U于网点Xj,tn处的近似值。初值条件（1.5）用下列差分方程近似:(1.8)0Uj o Xj1 Xj(1.9)注意：（1.7）的截断误差阶是o 2 h2，而（1.9）的截断误差阶仅是O 。为此需要提高（1.9）的精度，可用中心差商代替ut，即1 1(1.10)Uj Uj21 Xj为了处理Uj，在（1.7）中令n0，得u1j 2u0 Uj122u0 u：1222X进一步
8、,其中rah1Uj并用2 0 Xj(1.11)1Uj这样，利用（1.8)1 0Uj 2uj1Uj1.10)式的1Uj0 Xj 121 xj0 xj 1Uj0r Uj 11 1Uj2u00 Xj 12r 0 Xj0Uj 1Xj代入上式得0 Xj0 Xj 11 Xj（1.11）,可以由初始层n0的已知值，算出第一1各网格节点上的值。然后利用（1.7）或显式三层格式(1.12)n 12 nUj r Uj 1nUj 12 n n 121 r uj uj可以逐层求出任意网点值。以上显式三层格式也可用于求解混合问题:(1.13)t2u x, 0u 0, t0 X Ut X, 0t U l, t取h L，J
9、（1.14）T。除（1.7）（1.9）外。再补充边值条件Nu0Nn, uJNn1.3稳定性分析F面我们要讨论（1.7）的稳定性。为引用Fourier方法，我们把波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组,相应地把显式三层格式（1.7）化成二层格式。一种简单的做法是引进变量t ,于是（1.1）化为x2这样会使得初值u x, 0与v x, 0不适定（不唯一），更合理的方法是再引进一个变量a，将（1.1）化为ax(1.15) 注意到:a；x若令U则（1.5）可写成(1.16)相应地，将1.7)写成等价的双层格式:(1.17)n 1 n 1vj vj 11.17nVjnjnVjnjnj 4n 1r Vjn
10、j 4n 1Vj 1其中V；nUjn 1UjnaUln 1Uj 1 h可直接验证之。M为网比 h的必要条件是网比Fourier方法可以证明，差分方程（1.17）稳定(1.19)充分条件是网比(1.19)CoUrant等证明,1时，差分解仍稳定，收敛。但是要求有更光滑的初值。习上也称r 1为 Courant 条件或 C-F-L(CoUra nt-Fridrichs-Lewy )条件。稳定性条件（1.19）有直观的几何解释。从方程（1.12)n 12 nnuj r uj 1 uj 121nr Ujn 1Uj可看出，u；依赖于前两层的值：u；nUjnUjnUj，而这四个值由依赖于，U； 2依赖于:n
11、Ujn 3Uj 1nUjn 4Uj以此类推，可知,0UjnUjnUj1依赖于：U；12n ；Uj 1 ， UjnUj1依赖于：u；2，u； 1依赖于：u；n 2Uj2Uju；最终依赖于初始层0Uj，n 2，Uj 1n 2Uj 1，nUjn 3Uj 10上的下列值:因此，称X轴上含于区间Xjn,Xjn的网点为差分解U；的依存域，它是x轴上被过Xj,tn和Xj n，0以及右乙和Xj .,0的两条直线所切割下来 的区间所覆盖的网域。而过 Xj,tn的两条特征线为：X Xj at tn o差分格式稳定的必要条件为：r - 1或 -,并且进而hh a1oh a可见差分格式稳定的必要条件是：差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域，否则差分格式不稳定。用依存域的概念容易证明：当r 1时，差分解不收敛。1.4 隐式为了得到绝对稳定的差分格式，用第n 1层、n层、n 1层的中心差商的加权平均去逼近Uxx得到下列差分格式:n 1 c n n 1uj 2uj uj2u； 2u；h21 n
