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1、题目：带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析目录1. 引言：12. 静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动13. 带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动23.1 带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的分析 23.2 带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程 24. 带电粒子在非均匀，恒定磁场中的运动55. 带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移65.1 梯度漂移 65.2 曲率漂移 86结论97叁考文献：108.致谢11带点粒子在非均匀电磁场中的运动摘要：本文中论述带电粒子在均匀电磁场中的运动情况，并对带电粒子在非 均匀电磁场中的运动进行较深刻的讨论，及推导带电粒子在非均匀磁场中运动 时的漂移速度。关键词：带电粒子;
2、电场;磁场;漂移速度1. 引言：在很多等离子体的应用中, 都涉及到磁场对等离子体的作用. 因此, 研究 带电粒子在非均匀磁场中的运动, 对于研究等离子体的应用是很有必要的. 大家 知道带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成：一部分是沿磁感应线的 （纵向）匀速直线运动 另一部分是环绕磁感应线的（ 横向）匀速圆周运动. 这两部 分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动. 在非均匀恒定磁场中,会发生 洛伦磁力方向上的漂移，还会发生一种垂直于磁场方向的漂移。2. 静带电粒子在均匀，恒定磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动，受 lorentz 力的作用，其运动方程：(1)ma = qv x B在磁场
3、B均匀，恒定条件下，垂直于B的速度分量v受到与B和v都垂直的恒丄丄力qVB的作用，使带点粒子在垂直于B的平面内以V丄作匀速圆周运动，圆半径为r=Lmv士qB(2)r 称为回旋半径或 Larmor 半径，圆周运动的角速度为v=丄 =Lr丄LqBm称为回旋圆频率（Larmor频率）。平行于B的速度分量u不受力，使带电粒子L /沿B的方向即沿磁力以u作匀速直线运动。因此，带电粒子在均匀恒定磁场中的运动轨迹是以磁力线为轴的等距螺旋线，螺距为4）5）2兀mvh = v T =井/ L qBr2 兀2n r=LL vL丄其中T =巴=江称为回旋周期或Larmor周期。L珥卩丄可以看带电粒子均匀磁场中的运动
4、时，它的周期与轨道半径成正比，在恒定 的周期内轨道半径与速度成正比，利用这个规律可以使电子加速。3. 带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动3.1 带电粒子在均匀，恒定电磁场中的运动的简单解释如果除了均匀恒定磁场外，还存在着均匀恒定电场或其他非电磁力，或者， 如果磁场给均匀，不恒定，则带电粒子运动的重要特征是出现漂移即引导中心除 了沿磁力线的运动外，还有垂直磁力线的运动，或者称为漂移。3.2 带电粒子在均匀电磁场中的运动分析如图1所示，在三维直角坐标系o x y z中，磁感应强度B = B k ,电场强度为 zE = E j + E k。当t=0时，一质量为m,电量为q的带电粒子从坐标原点0 yZ
5、经过，速度为v = v T + v j + v k。0x0y 0z 0在不考虑重力作用情况下，带电粒子在任意时刻t所受到的合外力为+ q(v xB) = qEyj + qE k + q(v i + v j + v k)xB kz x y z z图1=qv B i + q（E 一 v B ） j + qE ky z y x z Z根据牛顿第二运动定律，粒子的运动微分方程为d 2 x q u B =y z dt 2m(7)d 2 y q (E 一 v B ) = yx zdt 2md 2 z =qEzdt2m初始条件为x = 0,y =0z=0t=0t=0t=0V= VV=VVVx t=0x0y
6、t=0y0zt=0z0(8)(9)(10)这是d 2 vxdt2(qB+q2 B Ez y( E |+(qB 2( E )V zV x BQ丿(m丿x BQ丿m 丿 x m 2=0d 2 dt 2zz个二阶常系数线性微分方程，方程的解为求解微分方程根据式（6）得m d 2 x m dvv =匸y qB dt 2qBdtzz将式（9）两边对时间求一阶导数得dv m d 2 vy =xdtq Bdt 2z将式（10）代入式（7）得y=cy0(11)(12)(13)(14)EqBqB zv = y + c smz t + c cos tx B 1 m 2 mz再进行积分为Ec mqBc mqBx =
7、 yt + c coszt + 2sin“Bx 0 qBmqBmzzz将式(11)代入式(7)得qBqBv = c co t 一 c sin zt y 1 m 2 mc mq Bc mqB+sin zt +cos ztqBmqBmzz将初始条件t=0Vy t=0=vy0代入式（12）（14） 得mvc = y,cx0 qBy 0zqB I=vy 0 ，( E 1v x0 B丿 zz(vqB ( x0zE1B丿zEmvmvqBmx = yt +y ycos zt + -BqBqBmzzzvmvqBmy =y sinzt +qB mzqB ( x0zqBmCOS ztmEyB z丿/ Evx0Ey
8、Bz(15)(16)根据式（8）和初始条件 zt=0=0, v l zt=01 qEt +zt 2z 0 2 m=Vz 0 得(17)式（15），（16）和（17）即为带电粒子在均匀电磁场中的运动方程。根据以上分析得到的结果，在一般的情况下，带电粒子在均匀电磁场中的运 动可以看成是3个运动的合运动。其中在Z轴上是一个匀加速直线运动；在xy 平面上是一个匀速圆周运动和一个沿 x 轴的匀速直线运动。图 2 中所示的螺旋曲线是一般情况下带电粒子的运动轨迹。图.2 在一些特殊条件下，带电粒子可能只叁与以上 3 个运动中的一到两个运动，下面 我们将分几种不同的情况进行讨论。（1） 如果空间电场和磁场的方
9、向互相平（ E = 0 ），且带电粒子在 x y 平面上 y的分速度不为零，则粒子的运动可以看成是两个运动的合成，既在z轴方向的匀 加速直线运动和在x y平面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图3所示。（2） 如果空间电场和磁场的方向互相平（E = 0），且带电粒子在x y平面上 y的分速度为零，则粒子只有一个运动，既 沿 z 轴方向的匀加速直线运动。3） 如果空间电场和磁场的方向互相垂直（E = 0 ）,带电粒子在z轴上的分速度不为零，z则粒子的运动仍然是 3 个运动的合成。其中在 z 轴 上的运动为一匀速直线运动；而在 x y 平面上还是 一 个匀速圆周运动和一个沿 x 轴的匀速直线运动。其运
10、动轨迹如图 4 所示（4）如果空间电场和磁场的方向互相垂直（E = 0 ）,且带z电粒子在 z 轴上的分速度为零，则粒子的运动可以看成是 两个运动的合成。既在 x 轴方向的匀速直线运动和而在 x y 平面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图 5 所示。图.3（5）如果空间电场和磁场的方向互相垂直（E = 0），图.4z带电粒子在 y 轴和 z 轴上的分速度为零，且在 x 轴上的分E速度为v =_i，则粒子只有一个运动。既沿x轴方向的x Bz匀速直线运动。4.带电粒子在非均匀，恒定磁场中的运动以磁场中所考察的那一点作为坐标原点建立直角坐标系, 令 z 轴与原点上B 的方向重合, 于 是B（0）= B
11、（0） = 0， B（0） = Bxyz由于磁场随空间缓慢地变化, 所以在原点附近除了有 Bz 分量以外, 还将出 现其它的分量. 每一个分量都 可随三个坐标 x , y , z 中的任一个而改变, 所以 需要9 个偏导数才能完全确定磁场在一点的空间变化率; 换句话说, 为了描述磁 场的不均匀性，需要引入一个二阶张量磁场的空间梯度B ,把它写成矩阵形式就胡瓦aBaaB兀 aB;axaB“ayaBa; 5.带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移5.1 梯度漂移令z轴平行于磁场，设磁场随兀而改变，且0.在图6中，一个正粒 dx子将沿顺时针方向绕磁感应线 旋转. 当它画上半部分轨道时 , 总是由弱场地点
12、向强场地点运动, 回旋半径会越来越小 相反地, 在画下半部 分轨道时, 则由强 场地点向弱场地点运动, 回旋半径会越来越大. 这样一来, 引导中心就会产生一 个沿 y 轴向 上的漂移. 对于负粒子来说, 因为回旋方向与正粒子相反 , 所以将 沿着 y 轴向下漂移图 .6WE)图.7现在来求磁场梯度引起的漂移速度 v . 从粒子回旋轨道的对称性看到, 粒子DEG每完成一个回旋时，它在x方向的力学状态(坐标、动勤就恢复原状，就是运动 方程(18)mv= q v)B = qvx(Bxxy积分将等于零, 即在一个回旋上, 例如图6 的 1、 2 两点之间,t q tJ v dt = J v B (x)
13、dtt x m t ytt11这里 t1 , t2 是粒子经过1 、 2两点的时间, y1 原点作泰勒展开, 略去高次项以后，有B(x) = B + 迺 xdx其中 B 是原点处的磁感强度. 以式(19) 代入式(20) , 整理后可得:f B(xy 二 0 mtt1,y2是两点的y坐标.把B (x)对(19)(20)y2 - y1 dB，1 dBJ xdy =兀 r 2B dxB dxy1(21)其中y -y表示在一个回旋周期T =2 1 c式右方时，假设丄dB是合缓变条件|B dx内引导中心沿y方向的位移.计算上cF,*r V B | B的小量，粒子回旋cy轨道可近似看成圆，因此积分/ J2dy等于拉莫尔圆所围面积-nr2c ,这里负号y1是因为正粒子拉莫尔圆所围面积按右手螺旋规则应为负值。根据以上结果, 求得正、负粒子梯度漂移速度为:(22)v=2 B xV B 二丄 B xV BDBG qB3qB 2梯度漂移速度取决于粒子的性质：正、负粒子将沿相反方向漂移，式(22)可以改写成fCyVB)x BvDEG=qB 2(23)由此可以认为梯度漂移是由
