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1、高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2-2高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教A版选修2-2知识网络专题探究专题一导数的几何意义及其应用1导数的几何意义：函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x)0)处的切线的斜率2导数的几何意义的应用，利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点3围绕着切点有三个等量关系，在求解参数问题中经常用到【例1】已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处
2、的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程提示：解：(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率kx02.切线方程为yx02(xx0)，即yx02xx03.点P(2,4)在切线上，42x02x03，即x033x0240.x03x024x0240.x02(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切
3、点为(x0，y0)，则切线的斜率kx204，x02.切点为(2,4)或.斜率为4的曲线的切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.专题二利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点其特点是导数f(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体【例2】若a1，求函数f(x)ax(a1)ln(x1)的单调区间解：由已知得函数f(x)的定义域为(1，)，且f(x)(a1)，(1)当1a0时，f(x)0，函数f(x)在(1，)
4、上单调递减；(2)当a0时，由f(x)0，解得x.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值从上表可知，当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递减；当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递增综上所述，当1a0时，函数f(x)在(1，)上单调递减当a0时，函数f(x)在上单调递减，函数f(x)在上单调递增【例3】若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围解：函数f(x)的导数f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即
5、a2时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0.故4a16，即5a7.因此a的取值范围是5,7专题三利用导数求函数的极值和最值1极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质另函数有极值未必有最值，反之亦然2判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0的根(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值即导数为零点未必是
6、极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意3求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值【例4】(1)函数f(x)，求yf(x)在上的最值；(2)若a0，求g(x)的极值点解：(1)f(x)，令f(x)0，得3x1，令f(x)0，得x3，或1x0，或x0，当x时，x，f(x)，f(x)的变化如下表：x4(4，3)3(3，1)1f(x)00f(x)极小值极大值02最大值为0，最小值为2.(2)g(x)，设ux24x3a，1612a，当
7、a时，0，即g(x)0，所以yg(x)没有极值点当0a时，x12，x220.g(x)的递减区间为(，x1)，(x2,0)，递增区间为(x1，x2)有两个极值点x12，x22.【例5】已知f(x)x2axln x，aR.(1)若a0，求函数yf(x)在点(1，f(x)处的切线方程；(2)若函数f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)令g(x)f(x)x2，是否存在实数a，当x(0，e(e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)当a0时，f(x)x2ln x，所以f(x)2xf(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f
8、(1)处的切线方程为xy0.(2)因为函数在1,2上是减函数，所以f(x)2xa0在1,2上恒成立，令h(x)2x2ax1，有得得a.(3)假设存在实数a，使g(x)axln x(x(0，e)有最小值3，g(x)a.当a0时，g(x)0，所以g(x)在(0，e上单调递减，g(x)ming(e)ae13，a(舍去)当e时，g(x)0在(0，e上恒成立，所以g(x)在(0，e上单调递减g(x)ming(e)ae13，a(舍去)当0e时，令g(x)00x，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增所以g(x)ming1ln a3，ae2，满足条件综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时g(x)有最小值3
9、.专题四利用导数证明不等式从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解其实质是这样的：要证不等式f(x)g(x)，则构造函数(x)f(x)g(x)，只需证(x)0即可，由此转化成求(x)最小值问题，借助于导数解决【例6】已知函数f(x)x2ex1x3x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)
10、x3x2，试比较f(x)与g(x)的大小解：(1)f(x)x(x2)(ex11)，由f(x)0得x12，x20，x31.当2x0或x1时，f(x)0；当x2或0x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(2,0)和(1，)上是单调递增的，在(，2)和(0,1)上是单调递减的(2)f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)因为对任意实数x总有x20，所以设h(x)ex1x.h(x)ex11，由h(x)0得x1，则当x1时，h(x)0，即函数h(x)在(，1)上单调递减，因此当x1时，h(x)h(1)0.当x1时，h(x)0，即函数h(x)在(1，)上单调递增，因此当x1时，h(x)h(1)0.当
11、x1时，h(1)0.所以对任意实数x都有h(x)0，即f(x)g(x)0，故对任意实数x，恒有f(x)g(x)专题五导数的应用解决优化问题的步骤(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义【例7】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a
12、的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2(3x6)从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于4
13、2.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大专题六定积分的应用由定积分求曲边梯形面积的方法步骤(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和【例8】如图所示，求由曲线y，y2x，yx所围成的图形的面积解：由得交点(1,1)，(0,0)，(3，1)，故Sdxdxdxdx692.专题七恒成立问题解决恒成立问题的方法(1)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)maxm.(2)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)minm.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具【例9】已知函数f(x)xln x.(1)若函数g(x)f(x)ax在区间e2，)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意
