《高中数学--导数及其应用-1.7-定积分的简单应用学案-新人教A版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学--导数及其应用-1.7-定积分的简单应用学案-新人教A版选修2-2（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.7 定积分的简朴应用学习目的1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.能运用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题学会用数学工具解决物理问题,进一步体会定积分的价值知识点一 定积分在几何中的应用思考如何运用定积分求不分割型图形的面积?答案求由曲线围成的面积,要根据图形，拟定积分上、下限,用定积分来表达面积，然后计算定积分即可梳理 (1)当a,b时，若（)0，由直线x=a，xb（ab),y0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S=(x）d.(2）当xa，时,若(x）g()，由直线x=a，x=b (b)和曲线y=f（x)，y=g(x)所围成的平面图形的面积=f(x)-g
2、（x)dx.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相似吗?答案 不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念梳理（）当v（t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用dt求解(2）当(）0时,求某一时间段内的位移用dt求解，这一时段的路程是位移的相反数,即路程为.做变速直线运动的物体所通过的路程,等于其速度函数v=v(t)（v(t）0)在时间区间a，上的定积分，即s(）dt.知识点三 变力做功问题思考恒力沿与F相似的方向移动了s，力做的功为F,那么变力做功问题如何解决？答案 与求曲边梯形的面积同样,物体在变力（x)作用下运动，沿与F相似的方向从x=a到b(ab）,
3、可以运用定积分得到WF(x)x梳理 如果物体在变力F(）的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相似的方向从xa移动到xb（a,则运动物体的路程为v(t)t;若v(t)，则运动物体的路程为s|v()|d=v(t)dt;注意路程与位移的区别.(2)求变力做功的措施环节一方面要明确变力的函数式F（x)，拟定物体在力的方向上的位移;运用变力做功的公式WF(x)d计算；注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米,功的单位才为焦耳跟踪训练一弹簧在弹性限度内,拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比若0N的力能使弹簧伸长cm,则把弹簧从平衡位置拉长1 cm(在弹性限度内）时所做的功W为（ )A. J B5 J
4、. J D6 考点 运用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案 A解析 设拉伸弹簧所用的力为F N,弹簧伸长的长度为x m，则F=kx.由题意知0.03k,得k=，因此F=x.由变力做功公式,得x（J),故把弹簧从平衡位置拉长13 m时所做的功为J.1由曲线y=x2与直线y=2x所围成的平面图形的面积为( )A B. D.考点运用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 解析如图,画出曲线y=x2和直线y=2x的图象,则所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得因此A(2,4），（,0)因此S=2xdxx2dx=x4=.2.一物体在力F(x）3x-2x+5(力的
5、单位:,位移单位：m)的作用下沿与力F（x)相似的方向由x=5 m运动到x1 m,则F（x)做的功为（ ）A92 B JC85J D800 J考点 运用定积分求变力做功问题题点 定积分在弹力做功中的应用答案 C解析 依题意（x）做的功是W=(x)dx(3x2-2x5)d=（x32+5）|82(J).由曲线y与直线x1,x=2,y1所围成的封闭图形的面积为_考点运用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 1-ln解析由于函数y=在，2上的积分为S=dxl x|ln 2，因此围成的封闭图形的面积1等于四边形BCD的面积减去S2的面积，即S11-ln 2.4一辆汽车的速度时间曲
6、线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为_ .考点 运用定积分求路程问题题点 运用定积分求路程问题答案90解析 由速度时间曲线得v()=因此汽车在1分钟内行驶的路程为tt=150+0900 5.求由抛物线=21,直线x=2，y0所围成的图形的面积.考点运用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解解作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积.由20,得抛物线与轴的交点坐标是(1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为S=x21|x+(x1)x（1-x）dx(x2)+.对于简朴图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义,此时(1）拟定积分上、下限,一般为两交点的横坐标；
7、(2）拟定被积函数,一般是上曲线与下曲线相应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区别定积分与运用定积分计算曲线所围图形的面积:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是非负的.一、选择题.用S表达图中阴影部分的面积，则S的值是（ ）A(x)xB|f(x)x|Cf(x）dxf（x）dxDf(x)x-f(x)dx考点 运用定积分求曲线所围成图形面积题点 需分割的图形的面积求解答案 D解析x，b时，f(x）0,阴影部分的面积S=f()dx-f（x)dx.2一物体以速度=（3+2)m/s做直线运动，则它在t0 s到ts时间段内的位移是( ).31m B.36mC.3
8、8 m D0 m考点 运用定积分求路程问题题点运用定积分求路程问题答案B解析S(3t2+2)t（t3+t2）|33+32=6()，故选.3.一物体在力F(x）x-1(单位:N)的作用下,沿着与力相似的方向,从x=1运动到x=处(单位：m），则力F(x）所做的功为( )A8 J B10 C2 J D J考点 运用定积分求变力做功问题题点 定积分在弹力做功中的应用答案解析 由变力做功公式有W=(4x1）d=(2x2x)4(J），故选D.4.由直线x=0,x=,y0与曲线y=in x所围成的图形的面积等于()A3 B D考点运用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案 A解析直线x
9、0,x,y0与曲线y2sin x所围成的图形如图所示,其面积为S=-2c x=2cos -（-cos0)1+2=，故选5由yx2，y=x2及x围成的图形的面积S等于( ）A.B.C. D.考点运用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案 C解析 =x2,yx2,x1所围成的图形如图所示,Sx2dxx2d=xd=.6.由直线yx,曲线yx3围成的封闭图形的面积为()A. B. D.考点运用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案 解析由直线yx,曲线yx3围成的封闭图形如图，因此由直线y=x，曲线y=3围成的封闭图形的面积为2（x-x3)dx=,故选C.7.由曲线y与直线yx-1及x轴所围成的封闭图形的面积为()A C. D.考点 运用定积
