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1、第12讲 空间中的夹角和距离备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一【课标要求】1掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。2掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；二【命题走向】高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新
2、的热门话题。预测2010年高考试题：（1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；（2）选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提三【要点精讲】1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的
3、求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度（2）点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P，则线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行
4、平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA的长度为d ，在a 上有线段AE m ，b 上有线段AF n ，那么EF （“”符号由实际情况选定）2夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次
5、为0，90、0，90和0，180。（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（）定义法；（）利用三
6、垂线定理或逆定理；（）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos q ，其中S 为斜面面积，S为射影面积，q 为斜面与射影面所成的二面角3等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。四【典例解析】题型1：直线间的距离问题例1已知正方体的棱长为1，求直线DA与AC的距离。 解法1：如图1连结AC，则AC面ACD，连结DA、DC、DO，过O作OEDO于E因为AC面BBDD，所以ACOE。又OD
7、OE，所以OE面ACD。 因此OE为直线DA与AC的距离在RtOOD中，可求得点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。图2 解法2：如图2连接AC、DC、BC、ABA，得到分别包含DA和AC的两个平面ACD和平面ABC， 又因为ACAC，ADBC，所以面ACD面ABC。 故DA与AC的距离就是平面ACD和平面ABC的距离，连BD分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离 不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离题型2：线线夹角例2如图1，在三棱锥SABC中，求异面直
8、线SC与AB所成角的余弦值。图1 解法1：用公式 当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解 由题意，知平面ABC，由三垂线定理，知，所以平面SAC。 因为，由勾股定理，得 。 在中，在中，。 设SC与AB所成角为，则， 解法2：平移过点C作CD/BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。图2在中，由余弦定理，得：。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；（2）证明这个角
9、（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角的度数题型3：点线距离例3（2009天津卷理）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其
10、补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60 （II）证明：因为（III）由（I）可得， 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ， （III） 又由题设，平面的一个法向量为 题型4：点面距离例4（2009重庆卷理）（
11、本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，求：（）点到平面的距离；（）二面角的大小 . （19）（本小题12分）解法一：（）因为AD/BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。因为平面故,从而，由AD/BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中()如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF/BC,交于点F,连结GF,因平面,故.由于E为BS边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中， . 在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：（）如答
12、（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平面上，因此又因AD/BC，故BC平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.()易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.BCS为直角三角形 ,知 设B(0,2, )，0，则2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .在CD上取点G，设G（），使GECD . . 由故 又点G在直线CD上，即，由=（），则有联立、，解得G,故=.又由ADCD，所以二面角ECDA的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以. 故所求的二面角的大小
13、为 .点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力题型5：线面距离例5（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（）问7分，（）问6分）如题（18）图，在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值解法一:（）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因，故；又平面，由三垂线定理可知，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记
14、为.在中, ,由得,从而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二: （）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ，面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而,此即 解得,知G点在面上,故G点在FD上.,故有 联立,解得, . 为直线AB到面的距离. 而 所以（）因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故由,因,故为二面角的平面角，又,所以 点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型6：线面夹角例62009湖南卷文）（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值解:（）如图所示，由
