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1、求函数值域的方法(1)直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为x|x0,值域为y|y0;二次函数的定义域为R,当a0时,值域为;当a0); (2)y=4,(x0); (3)y=,(0x2;(4)y=x(6-x); (5)y=,(4)不等式性质法【例3】求下列函数的值域: (1)y=; (2)y=; (3)y= (4)y=10-; (2)y=; (3)y=(5)逆求法(反求法):通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围;常用来解,型如:或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域.【例4
2、】求下列函数的值域:(1)y=; (2)y=; (3)y=;(法一)反函数法:(法二)分离变量法:(6)函数单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.【例5】求下列函数的值域:(1)y=x3+arcsinx; (2)y=(正常数a1,x1);(3)y=; (4)y=(7)换元法(代数换元法):通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;【例6】(1);(2)【解】(1)设,则,原函数可化为,原函数值域为说明:总结型值域,变形:或(2)三角换元法:,设,则,原函数的值域为(8)几何法:由数形结合,转化斜率、距离等求值域;图像法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域【例7】(1)已知
3、,求函数u=3x+4y的值域;(2)(3)对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P(x,y),不等式x+y+m0恒成立,求实数m的取值范围;(4)求函数的值域.解:(2)问题转化为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点时,斜率的取值范围问题。现在只要求出k的最大和最小值即可。 (3) , (4)数形结合法:,函数值域为(9)最值法:【例7】求下列函数的值域:拓展【例1】求函数f(x)=的值域:【例2】求函数f(x)=的值域是-1,9,求实数a、b值. 小结1熟练掌握求函数值域的几种方法,并能灵活选用;2求值域时要务必注意定义域的制约;3含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论
4、;4用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。5对于二次函数,若定义域为R时,当a0时,则当时,其最小值;当a0)时或最大值(a10,则当x=22时,y有最大值约833元【题组二】1若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为-25/4,-4,则m的取值范围是 3/2,33求下列函数的值域(1)y=(1-x2)/(1+x2); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx) (1) (0,1); (2) -1/2,+4已知1/2t1,则2/tt的最大值是 7/2(单调性求最值)5函数y= x22ax(0x1)的最大值是a2,那么实数a的取值范围是 1a0(配方法求二次函数的最值)6在区间1/
5、2,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+1/x2在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在区间1/2,2上的最大值是 4 ,平均值不等式求最值7函数在上的最大值与最小值的和为,则 28已知函数,构造函数,定义如下:当时,当时,那么( B )有最小值,无最大值 有最小值,无最大值有最大值,无最小值 无最小值,也无最大值9. 函数 ( D )(A) (- (B) (C) (-1,+ (D) (-10. 函数的值域是( D )A(B)(C) (D)11. 函数的值域为 。12. 的值域是_.13函数的最大值是( D )ABCD14函数的值域为 ( B )A( B C D15函数在上的值域是_0,16. 下列函数中,值域是(0,+)的函数是 ( D )A B C D17. 已知函数在区间0,m上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( D )A、 1,+ B、0,2 C、(-,2) D、1,218. (04津)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=(A ) A. B. C. D.