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1、 浅谈数学化归思想 盛爱军著名的数学家路莎彼得（Pozsa Peter）在她的名著中曾对化归方法作过一个非常生动而风趣的描述：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，现在的任务是烧水，你想烧开水，应当怎么做？当然，办法很简单，在水壶中放上水，点燃煤气，在把水壶放到煤气灶上。如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那么你又应当怎么做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。”在这里所说的
2、就是化归思想。数学家在解决烧开水问题时，不是对问题进行正面攻击，而是巧妙地将它变形，把问题化归为已经能够解决的问题，这种方法就是化归方法。一、化归思想及其中数学教学中的意义 所谓化归,就是转化。而它较之转化又具有较强的性和方向性,是用联系、运动、发展变化的观点来看待问题,把未解决的问题通过某种转化归结为已经解决或易于解决的问题。从本质上说,就是对问题进行变形,促使矛盾转化。数学问题的解决都可归结为化归思想的应用,化归就是解决问题。化复杂为简单,化陌生为熟悉,化抽象为具体,化无限为有限就是化归思想的具体体现。无论从数学课程内容的展开,还是数学问题的编拟,都为化归思想的培养提供了丰富的材料,学生新
3、知识的学习无不化归到已有知识基础上来获得。因此,我们必须认识到学生在校学习期间形成了化归思想,就为他们的终身学习打下了良好的基础。而化归思想并不是教给学生一个模式就能解决问题,而是需要通过不断的渗透和长期的培养训练才能逐渐形成的。 中学数学教材中的化归思想无处不在,且贯穿于教学的全过程中。如空间中的线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化关系;三角函数中的化多角形式单角形式、化未知角为已知角、化多种函数名称为一种函数名称、化高次为低次、化特殊为一般;等等。数学思想,如影随形。笔者认为,必须充分利用教材提供的丰富材料,使学生逐步形成运用化归思想探索和解决问题的意识,树立知难而进、化难为易的数学
4、精神。例1 已知函数，当是减函数时，求使的定义域为值域为的取值范围6。解 要使原函数有意义必有，即，所以函数的定义域为，故。当时在定义域上的值域为。所以，是方程的两个不同实根。设，则的图象在上有两个不同的交点，其充要条件是：。注：本题充分地体现了化归的思想，由函数定义域与值域的对应关系对数方程组代数方程组是的两根一元二次方程的实根分布不等式组。归结为已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题。例2 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD,E、F分别为CD和PB的中点。设ABBC，求AC与平面AEF所成的角的大小。（2005全国）分析：本题可以利用空间
5、向量来解答，建立直角坐标系找到相关点的坐标，再利用向量的知识求解。但本题关键的地方是把立体几何的知识转化为平面几何的知识和把求一个角转化为求另一个角。解：以AD所在的直线为轴，CD所在的直线为轴,AXYDZPBCFEOPD所在的直线为轴,D为坐标原点建立直角坐标系，如图：设BC，AB=，则，A=(,0,0) B=(,0) C=(0, -,O) E=(0, ,0) F=(, )P=(0,0, ）所以=(, ) =(,0, ) =(, -,-) =(-,-,0) 所以=0, =0 所以, 且AF和EF是平面AEF内两条相交直线。 因此BP面AEF. 因为AC与平面AEF所成的角可以转换为求异面直线
6、AC与BP的夹角。因为 ，所以直线AC与BP的夹角为，所以AC与平面AEF所成的角为，即。例3 求值：cot104cos10。 分析：分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。解1 cot104cos104cos10（基本过程：切化弦通分化同名拆项差化积化同名差化积）解2 cot104cos104cos10（基本过程：切化弦通分化同名特值代入积化和差化积）解3 cot104cos104cos10 （基本过程：切化弦通分化同名拆角80和差角公式）注：无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。一般地，对于三角恒等变换，需要灵活运用的
7、是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。二、化归方法的基本原则化归方法的基本原则主要有熟悉化原则、正难则反原则、简单化原则、具体化原则、凑的原则等。下面就这几个原则举例说明之。 （一）熟悉化原则 熟悉化就是把所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使原问题得到解决。转换是手段,揭示其中不变的东西才是目的,为了不变的目的去探索转换的手段就构成解题的思路和技艺。例4.函数f(x)=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值
8、范围是_ 解析 转化为f(x)=3x23b在（0，1）内与x轴有两交点只须f(0)0 答案 0b1例5 已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(tR是参数） (1)当t=1时，解不等式f(x)g(x);(2)如果x0,1时，f(x)g(x)恒成立，求参数t的取值范围 解 (1)原不等式等价于即 x原不等式的解集为x|x (2)x0,1时，f(x)g(x)恒成立 x0,1时恒成立 即恒成立即x0,1时，t2x+恒成立，于是转化为求2x+,x0,1的最大值问题令=,则x=21,则1, 2x+=2()2+ 当=1即x=0时，2x+有最大值1t的取值范围是t1 （二）正难则反原则
9、 在解决某些较为复杂的数学问题中，有的时候我们从正面考虑很困难，或没有思路但如果反过来考虑的话，问题就迎刃而解了。这就是正难则反。例6.某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是_ （列式表示）解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案 （三）简单化原则 简单化就是把比较复杂的问题转化为比较简单的，且易于确定解决问题方向和程序的问题，从而使原问题获解。当然，复杂与简单是相对的，以二次方程为例，它相对于一次方程来说，是比较复杂的形式；而相对于高次方程来说，它又是比较简单的形式。例7.如图，反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点 （1）求 A、B两点的坐标
10、； （2）求AOB的面积 解析：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标答案：解方程组 得 所以A、B两点的坐标分别为A（2，4）B(4，2（2）因为直线y=x+2与y轴交点D坐标是(0， 2）， 所以 所以方法技巧：如果对待这个问题时只考虑几何的面积求法，很容易陷入分别求边长的死胡同，从而一筹莫展，这里采用代数考虑，将问题用一个方程表达出来，进而求出次小正方形的边长，进而求得解。这里又包含了整体思想、方程思想.（四）具体化原则 具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以
11、便形象地把握问题所及的各个对象之间的关系，使问题易于求解。例8. 已知两条直线l1:y=x,l2:axy=0，其中aR，当这两条直线的夹角在(0,)内变动时，a的取值范围是( )A （0，1） B （，）C （，1）（1，） D （1，）解析 分析直线l2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解。答案 C（五）凑的原则 所谓“凑”指的是凑得适当和统一。凑的原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为使之更具有数、式与形内部固有的和谐统一的特点，以帮助我们去确定解决问题的程序和方法。例9.已知S=x|x=12m+8n,m、nZ,P=x|x=20p+1
12、6q,p、qZ,试证明S=P解析：令xS时，将x=12m+8n拼凑成x=20(3m+2n)+16(-3m-2n)，故SP,同理PS.所以S=P。数学思想、方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉；数学思想、方法是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略；数学思想、方法比数学知识具有更大的统摄性和包容性，它们犹如网络，将全部数学知识有机的编织在一起，形成环环相扣的结构和息息相关的系统；数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次，可以说“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和应用，数学素质的综合体现就是“能力”。而化归是数学思想中基本思想。所以，数学学习必须通过数学知识的学习和适当的解题活动突出化归思想和方法。
