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1、2016届四川高三第三次全国大联考（卷）理数卷 （解析版） 第卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ ） A B C D【命题意图】本题考查集合与集合间的基本关系及其运算，考查学生的运算求解能力.【答案】B【解析】易知集合，所以，选B.2. 设i为虚数单位，若复数满足 ，则的共轭复数（ ）ABCiD【命题意图】本题考查复数及其相关概念，复数的四则运算以及运算求解能力【答案】D【解析】由，得，则，选D.3. 已知正态分布密度函数（），则下列判断正确的是（）A函数是偶函数B函数在区间上是增函数C函数的图象关
2、于直线对称D 【命题意图】本题考查正态分布密度函数的图象和性质，属于基础题【答案】D【解析】因为正态曲线与轴围成的面积为1，且正态曲线关于直线对称，从而在关于直线对称的区间上概率相等，于是，故选D.4. 已知向量，.若，则()A B C D【命题意图】本题考查向量平行的充要条件、线性运算以及数量积的概念与运算，同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.【答案】B【解析】由得，即.又，所以.则，选B.5. 已知双曲线（）的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 【命题意图】本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查基本运算求解能力.【答案】
3、D【解析】圆的圆心坐标为，半径.不妨设一条渐近线方程为，则圆心到渐近线的距离为，由勾股定理，得，即，所以，则.6.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为( )A. B.C. D. 【命题意图】本题考查三视图与原几何体的相互关系，不等式的应用等基础知识，考查基本运算求解能力和空间想象能力.【答案】C【解析】设主视图的高为，则根据三视图理论，得，所以.又（当且仅当时等号成立），所以的最大值为.7. 如图所示的程序框图中，若，且恒成立，则的最大值是( ) A. B.C. D. 【命题意图】本题主要考查了对程序框图识图能力，分段函数以及不等式恒成立问题，属于对基础知识的考查
4、.【答案】C【解析】根据程序框图的意义，所以，则，的最大值是，选C.8. 已知个人组成的旅行团中恰有人熟悉某条线路，现将个人平均分为两组，每组人，要求每组至少有1人熟悉该条线路，则不同的分组方法共有（）种.A. B.C. D. 【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力【答案】B【解析】(直接法) 先将熟悉线路的人分为两组:“2，2”型或“3，1”型，对应地，再将其他人分为两组:“6，6”型或“5，7”型. 请注意：“2，2”型与“6，6”型搭配方法有种； 而“3，1”型与“5，7”型搭配方法只有1种，因此，总的分组方法有种. (排除法) 个人平均分为两组的方
5、法有种, 其中不符合条件的是熟悉线路的人恰分在一组，其分组方法恰好是将余下人不均匀地分为“4，8”型，即种，因此，总的分组方法有种，故选择B.9. 在四棱锥中，底面是直角梯形，ADBC，ABBC，侧面PAB底面若（），则（ ）A当时，平面平面PCDB当时，平面平面PCDC，直线与底面都不垂直D，使得直线【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定及性质，考查学生的空间想象能力和计算能力【答案】A【解析】当时，取、的中点、，连结，,，则.又，于是为平行四边形，则.，为的中点，.又侧面PAB底面， 底面，侧面底面,所以侧面PAB，则，从而平面，平面.平面PCD，故平面平面PCD
6、，选A.10. 已知函数 ，在数列中，（），则数列的前80项之和（）A. B. C.D. 【命题意图】本题考查数列的概念，前项和的求法，三角函数性质等基础知识，意在考查学生的运算求解能力，转化与化归的能力【答案】C【解析】依据题意和余弦函数的性质，数列前80项之和为： ，所以.第卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 已知（）的展开式中常数项为，则该展开式中的系数为_【命题意图】本题主要考查二项式定理的性质等基础知识，考查学生的计算能力【答案】【解析】由知，展开式中常数项为，所以，则该展开式中的系数为.12. 若实数x，y满足，则的取值范围是 .【命题意图
7、】本题考查线性规划的应用，意在考查学生数形结合思想，基本运算能力.【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域（如图所示），由图知，.显然.，所以.13. 如图所示，在某工程项目中为了测量圆弧的半径，由于没有直接的测量工具，工人师傅用三个完全相同的小球放在圆弧上，使圆弧的每个接触点都相切，通过深度卡尺测出小球的高度差，小球的半径，则的值为_.【命题意图】本题考查圆的切线的性质定理，解三角形的实际应用“数学是有用的”一直是新课标的重要精神，近几年高考在命题形式上与生活联系更加密切，贴近实际 【答案】【解析】设相切两个小圆与大圆的连心线之间的夹角为，如题中图，在中，由余弦定理，得，又，所以，将，代入
8、，得，故答案为. 14.若抛物线上不同两点处的切线互相垂直，则这两条切线交点的轨迹方程为_.【命题意图】本题考查导数的几何意义，轨迹方程的求法，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.【答案】 【解析】我们证明更一般的结论： 抛物线（）上两点与的切线互相垂直，则切线的交点在其准线上事实上：设两切线，的交点为 则切线的方程分别为，即与，即.因为，所以，即.由，得，所以.故两垂直的切线的交点在抛物线的准线上.所以本题切线交点的轨迹方程为.15.已知函数（，且），给出下列结论:函数为定义域上的增函数；当时, 函数在区间上有且只有一个零点；对任意，都有恒成立的充要条件为；设，存在唯一实数，使得对任意，都有
9、.其中正确结论的序号为_.（写出所有正确结论的序号）【命题意图】本题考查应用导数研究具体函数的性质的能力，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.【答案】【解析】函数的定义域为. .对于，则，于是，所以为定义域上的增函数，正确；对于，由，得（），又由知，为定义域上的增函数，所以当时, 函数在区间上有且只有一个零点，正确；对于，由知，时，于是.令，则，所以当时，当时，所以的解集一定不是，故错误；对于，所以等价于.令，则，当时，当时，所以，所以，易知，即，故当时，对任意，都有，正确，于是答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. （本小题满分12分）在
10、各项均为正数的等比数列中， ，且， 成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设（），记数列的前项和为，求证：【命题意图】本小题主要考查等比数列的通项公式、前项和公式及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想等【解析】（1）设等比数列的公比为，.， 成等差数列，即.，解得或，.故数列的通项公式为.（6分）（2），.所以，故.（12分）17. （本小题满分12分）某小组有、六位同学，其中、成绩较好，、成绩较弱.（1）某次活动上，决定由两位成绩较好的同学和一位成绩较弱同学组队参加，则有多少种不同的组队方法?（2）一次学习竞赛中，规定每小组先通过抽签方式将6人排序，并按顺序依次出场参赛，每
11、次出场1人，解答一个问题.已知4位成绩较好的同学可以解答出任意一个题目，而成绩较弱的同学无法完整解答出每一个题目.一旦出现解答不完整情况，该组答题即停止.用代表该组出场参赛的人数，求的分布列和数学期望.【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生转化能力、计算能力以及分析问题和解决问题的能力.【解析】（1）从、中任选2人，、中任选1人， 有种不同的方法.（4分）（2）的可能取值为1,2,3,4,5，.（9分）的分布列为12345所以.（12分）18.（本小题满分12分） 如图，在直角梯形中，点、分别在、上，且，.现将矩形沿折起，使平面与平面垂直.（1）求证： 平
12、面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为.ADCBEFDECAFB【命题意图】本小题主要考查空间线面位置关系的证明，二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【解析】（1）,平面，平面，平面2分又,平面,平面平面4分而,且平面，平面,平面/平面,又平面5分/平面.6分（2）解法一：过F作CB的垂线交CB的延长线于H点，连接AH，平面平面，平面平面，平面，,平面,平面8分,又,平面.9分,是二面角的平面角，10分由，且，知.在直角梯形中, .11分在直角三角形中，.12分解法二：平面平面，平面平面，平面，,平面,又平面，又.以点为坐标原点，以，所在直线分别作为轴，轴和轴，建
13、立空间直角坐标系，如图.由，且知.在直角梯形中，,，7分则,，设，平面的一个法向量为，,，8分由，可得，9分令，则，.平面的一个法向量为，10分又平面的一个法向量为,，11分化简可得，可得.即时，二面角的大小为.12分19. （本小题满分12分）ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，解答下列问题：（1）求证：；（2）设ac=2b，AC=，求的值【命题意图】本题主要考查正弦定理，同角三角函数基本关系，诱导公式，正弦的和角与差角公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力【解析】（1）设，则，.（2分）所以 （4分），故.（6分）（2）由正弦定理和已知条件a+c=2b 得，sinA+sinC=2sinB. （7分）由（1）得，2sincos=2sinB. （8分）由，得，又AC=，所以cos=sinB，所以cos=2sincos.因为0，cos0，所以sin=.（10分）从而cos=，所以sinB=.（12分）20. （本小题满分13分）已知椭圆：()的离心率为，且
