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1、第五章 二次曲线一般的理论5.1二次曲线与直线的相关位置1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及，及.（1）；（2）；（3）；（4）（5）.解：（1）；（2）；.（3）；（4）；（5）；. 2. 求二次曲线与下列直线的交点.（1）（2）；（3）；（4）；（5）.提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略（1）；（2，；（3）二重点；（4）；（5）无交点. 3. 求直线与的交点. 解：由直线方程得代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k的值，使得（1）直线与二次曲线交于两不同的实点； （2）直线与二次曲线交于一点； （3）与二次曲线交于两个相互重合的点；（4）与二次曲线交于两个共
2、轭虚交点.解：详解略.（1）；（2）或（3）或；（4）.5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的（1）；（2）；（3）.解：（1）由得渐进方向为或且属于抛物型的； （2）由得渐进方向为且属于椭圆型的； （3）由得渐进方向为或且属于双曲型的.2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线.（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）因为，所以它为中心曲线； （2）因为且，所以它为无心曲线； （3）因为且，所以它为无心曲线； （4）因为且，所以它为线心曲线；3. 求下列二次曲线的中心.（1）；（2）；（3）.解：（1）由得中心坐标为； （2）由
3、得中心坐标为； （3）由知无解，所以曲线为无心曲线.4. 当满足什么条件时，二次曲线（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.解：（1）由知，当时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）当时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5. 试证如果二次曲线有渐进线，那么它的两个渐进线方程是=式中为二次曲线的中心. 证明：设为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为，所以=. 6. 求下列二次曲线的渐进线.（1）；（2）；（3）.解：（1）由得中心坐标.而由得渐进方向为或，所以渐进线方程分别为与 （2）由得中心坐标.而由得渐进方向为或，所以渐进线方程分
4、别为与 （3）由知曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为. 7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是，成为无心曲线的充要条件是. 证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是也即；为无心曲线的充要条件是也即.8. 证明以直线为渐进线的二次曲线方程总能写成. 证明：设以为渐进线的二次曲线为 ，则它的渐进线为=，其中为曲线的中心， 从而有= ，而=0 因为为曲线的中心， 所以有， 因此， 令，代入上式得 即， 所以以为渐进线的二次曲线可写为.9.求下列二次曲线的方程.（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直
5、线为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得： （1）； （2）.5.3二次曲线的切线1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.（1）曲线在点（2，1）； （2）曲线曲线在点在原点； （3）曲线经过点（-2，-1）； （4）曲线经过点； （5）曲线经过点（0，2）.解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）.2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.（1）曲线的切线平行于直线； （2）曲线的切线平行于两坐标轴.解：（1），和，； （2），和，.3. 求下列二次曲线的奇异点.（1）； （2）； （3）.解：（1）解方程组得奇异点为； （2）解方程组得奇异点为.4.试求经过原点
6、且切直线于点（1，-2）及切直线于点（0，-1）的二次曲线方程. 解：利用（5.3-5）可得.5.设有共焦点的曲线族，这里是一个变动的参数，作平行于已知直线的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为，则由（5.3-4）得曲线的切线为 ， 因为它平行与，所以有， 代入整理得， 所以切点的轨迹为.5.4二次曲线的直径1. 已知二次曲线.求它的（1）与轴平行的弦的中点轨迹； （2）与轴平行的弦的中点轨迹； （3）与直线平行的弦的中点轨迹.解：（1）因为轴的方向为代入（5.4-3）得中点轨迹方程； （2）因为轴的方向为代入（5.4-3）得中点轨迹方程； （3）因为直线的方向为代入（5.
7、4-3）得中点轨迹方程.2.求曲线通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径.解：（1）把点（8，0）代入 得，再代入上式整理得直径方程为，其共轭直径为.3.已知曲线的直径与轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径. 解：直径方程为，其共轭直径方程为.4.已知抛物线，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解：.5. 求双曲线一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度.解：设直径和共轭直径的斜率分别为，则.又因为它们交角45度，所以，从而或2，或，故直径和共轭直径的方程为和或和.6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 证明：因为中心
8、曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.7求下列两条曲线的公共直径.（1）与； （2）与. 解：（1）；（2）.8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线 与为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程. 解：设曲线的方程为，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得，所以曲线的方程为.5.5二次曲线的主直径与主方向1.分别求椭圆，双曲线，抛物线的主方向与主直径.解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为；抛物线的主方向分别为0：
9、1和1：0，主直径分别为. 2.求下列二次曲线的主方向与主直径. （1）； （2）； （3）.解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.3.直线是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的方程.解：设二次曲线方程为， 把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代入上面方程同时利用直线为其主直径可得，所以所求曲线方程为.4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相
10、互垂直.证明：设分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为与则与，所以 从而有，因为，所以，由此两主方向与相互垂直.5.6二次曲线方程的化简与分类1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形.（1）；（2）；（3）；（4）. 解（1）因为二次曲线含项，我们先通过转轴消去，设旋转角为，则，即，所以或-2.取，那么，所以转轴公式为代入原方程化简再配方整理得新方程为；类似的化简可得 （2）；（3）；（4）.2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）已知二次曲线的距阵是 ， ， 所以曲线的特征方
11、程为，其特征根为，两个主方向为，； 其对应的主直径分别为，. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式 代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为 .（2）已知二次曲线的距阵是 坐标变换公式 代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系方程为. （3）已知二次曲线的距阵是 ， 坐标变换公式 代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为. （4）坐标变换公式代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为 .3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式.证明：设旋转角为，则，两式平方相加得.4.试证二次曲线 的两条主直径为，曲线的两半轴的长分别为 及. 证明：求出曲线的两主直径
12、并化简即可得.5.7应用不变量化简二次曲线的方程1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）.解：（1）因为，而特征方程的两根为，所以曲线的简化方程（略去撇号）为曲线的标准方程为 ，曲线为双曲线； 类似地得下面：（2）曲线的简化方程（略去撇号）为 ，曲线的标准方程为 ，曲线为椭圆；（3）曲线的简化方程（略去撇号）为 ，曲线的标准方程为 ， 曲线为两相交直线；（4）曲线的简化方程（略去撇号）为 ，双曲线的标准方程为 ，曲线为抛物线； （5）曲线的简化方程（略去撇号）为 ，曲线的标
13、准方程为 ， 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线；（6）曲线的简化方程（略去撇号）为 ，曲线的标准方程为 ，曲线为抛物线的一部分；（7）曲线的简化方程（略去撇号）为 ， 曲线的标准方程为 ，曲线为两平行直线；（8）曲线的简化方程（略去撇号）为 ，曲线的标准方程为 ， 曲线为两重合直线.2. 当取何值时，方程 表示两条直线.解：方程 表示两条直线当且仅当，即.3. 按实数的值讨论方程表示什么曲线.解：因为，所以当的值变化时，也随着变化，它们的变化关系如下表：-11-0+0-0+0-0+-+0+所以有对应于下面的结果：椭圆抛物线双曲线一对相交直线双曲线一对平行的虚直线虚椭圆4. 设 表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是. 证明：曲线的方程可简化为： 这里当曲线表示两条平行的实直线时，.所以这两条直线之间的距离是.5. 试证方程 确定一个实圆必须且只须.证明：当曲线 表示一个实圆的充要条件是其特征方程 有相等实根且，即且，从而方程确定一个实圆必须且只须.6. 试证如果二次曲线的，那么. 证明：因为即，所以，而不全0，所以有.7.
