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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）数 学 试题（笔试部分）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、班级写在答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用05毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分
2、请把答案填写在答题卡相应位置上1设复数满足（是虚数单位），则复数的模=_2已知，则_3抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线 = 1的渐近线的距离为_4阅读下列算法语句:Read S1For I from 1 to 5 step 2 SS+IEnd for Print SEnd输出的结果是5设集合，则=_6设等比数列an的公比q = ，前n项和为Sn，则 = _7在区间内随机地取出一个数，则恰好使1是关于的不等式的一个解的概率大小为_8已知向量，则的最大值为9已知A（2,4），B（1,2），C（1,0），点P（x,y）在ABC内部及边界上运动，则z = xy的最大值与最小值的和为_ 10设表示两条
3、直线，表示两个平面，现给出下列命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则其中正确的命题是_（写出所有正确命题的序号）11设函数，若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为_12函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导数，于是运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为_13已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，则 14已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为_ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15（本小题满分14分）如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知，设，均为锐角P
4、ACB （1）求； （2）求两条向量的数量积的值16（本小题满分14分）如图，已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F是CD的中点 （1）求证：AF/平面BCE；ABCDEF （2）求证：平面BCE平面CDE17（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人为计数单位）作了一个模拟预测为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即；9点20分作为第二个计数人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位第个时刻进入园
5、区的人数和时间（）满足以下关系： ，第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系：（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18（本小题满分16分）设圆，动圆，（1）求证：圆、圆相交于两个定点；（2）设点P是椭圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由19 （本小题满分16分）已知数列an的通项公式为an = （nN*） （1）求数列an的最大项； （2）设bn = ，试确定实常
6、数p，使得bn为等比数列； （3）设，问：数列an中是否存在三项，使数列，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由20（本大题满分16分）已知函数，（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关试求的取值范围（加试部分）21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4 1几何证明选讲BCEDA如图，ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,BAC的平分线与BC交于点D求证：ED2= EBEC
7、B矩阵与变换已知矩阵，求满足的二阶矩阵C选修4 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为r = 1与r = 2cos（q + ）,它们相交于A，B两点，求线段AB的长D选修4 5 不等式证明选讲设a,b,c为正实数,求证:a3 + b3 + c3 + 2【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM平面PBD （1）求PA的长； （2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值PBCDAM23（本小
8、题满分10分）用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是， 如图所示记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为 （1）试用数学归纳法证明：；abcdn=1abcdn=2acdabdabc （2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：参考答案122331410561570.784921011121381415解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以所以，2分，所以，4分，6分又，所以8分 （2）11分14分ABCDEFP16解:取
9、CE中点P，连结FP,BP,因为F为CD的中点,所以FP/DE,且FP=DE,2分又AB/DE,且AB=DE,所以AB/FP,且AB=FP, 所以四边形ABPF为平行四边形,所以AF/BP 4分又因为AF平面BCE,BP平面BCE, 所以AF/平面BCE 7分（该逻辑段缺1个条件扣1分）因为ACD为正三角形,所以AFCD 因为AB平面ACD,DE/AB,所以DE平面ACD, 又AF平面ACD,所以DEAF 9分又AFCD，CDDE=D，所以AF平面CDE 又BP/AF，所以BP平面CDE 12分又因为BP平面BCE，所以平面BCE平面CDE 14分17解：（1）当且时，当且时，所以；2分另一方
10、面，已经离开的游客总人数是：；4分所以（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人 6分（2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减（i）当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；8分（ii）当时，令，得出，即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；10分（iii）当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；12分（）当时， 令时，即在下午点整时，园区人数达到最多此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整 14分答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人； （2）在下午点整时，园区人数达到最多18解（1）将方程化为，令得
11、或，所以圆过定点和，4分将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；6分（2）设，则，8分，10分即，整理得（*）12分存在无穷多个圆，满足的充要条件为有解，解此方程组得或，14分故存在点P，使无穷多个圆，满足，点P的坐标为16分19解 由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以an中的最大项为a1 = 44分bn = = = ，若bn为等比数列，则bbnbn+2= 0（nN* ）所以 （2 + p）3n+1 + （ 2 p）2 2 + p）3n + （2 p）（2 + p）3n+2 + （2 p） = 0（nN*），化简得（4 p2）（23n+1
12、3n+2 3n ） = 0即 （4 p2）3n4 = 0,解得p = 27分反之,当p = 2时,bn = 3n,bn是等比数列;当p = 2时,bn = 1,bn也是等比数列所以,当且仅当p = 2时bn为等比数列10分因为，若存在三项，使数列，是等差数列，则，所以=，12分化简得（*），因为，所以，所以，（*）的左边，右边，所以（*）式不可能成立，故数列an中不存在三项，使数列，是等差数列16分20解：（1）令，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即关于的方程有相异的且均大于1的两根，2分所以，4分解得，故实数的取值范围为区间6分（2）当时
