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1、第七章 微分方程教学目的:1.理解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。2.纯熟掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简朴的变量代换解某些微分方程。4 会用降阶法解下列微分方程：， 和5 理解线性微分方程解的性质及解的构造定理。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程,会解涉及两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。会解微分方程组（或方程组)解决某些简朴的应用问题。教学重
2、点：1、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、 可降阶的高阶微分方程,和3、 二阶常系数齐次线性微分方程；4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点:1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、 线性微分方程解的性质及解的构造定理; 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。7. 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 运用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中， 往往不能直接
3、找出所需要的函数关系， 但是根据问题所提供的状况, 有时可以列出具有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立后来， 对它进行研究, 找出未知函数来,这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(, )处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程 解设所求曲线的方程为yy(x). 根据导数的几何意义， 可知未知函数y=(x)应满足关系式（称为微分方程) （1) 此外, 未知函数y=y(x)还应满足下列条件: =1时， y, 简记为|x=1=2 (2）把(1)式两端积分， 得（称为微分方程的通解） , 即2+C， (3) 其中C是任意常数 把条
4、件“x1时, =”代入(3)式, 得 21+C, 由此定出C. 把C1代入（3)式, 得所求曲线方程（称为微分方程满足条件y|x=的解）: =2+1. 例 列车在平直线路上以20m/s(相称于7kmh)的速度行驶； 当制动时列车获得加速度-0.m2 问开始制动后多少时间列车才干停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数=s（t)应满足关系式 . （4)此外, 未知函数s=s（)还应满足下列条件: t0时， s=, 简记为st=0=, s|=2. （5) 把(4)式两端积分一次,得 ； （6)再积分一次， 得
5、 s=-0.2t +C1t+， (7）这里C1，C2都是任意常数 把条件vt0=2代入(6）得 20C; 把条件|t=0=0代入(7)得=C2. 把1,C的值代入()及（7)式得 v=-0.4+20, (8) s=-0.2t2+ （9)在(）式中令=0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 (s)再把t=50代入()， 得到列车在制动阶段行驶的路程 s=-.25+2050=0（m) 几种概念: 微分方程: 表达未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程： 未知函数是多元函数的微分方程， 叫偏微分方
6、程 微分方程的阶：微分方程中所浮现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶. x3 y+x2 -4xy=3x2 , (4)-4y+10y-1+5=s2x， y(n）+1=, 一般n阶微分方程: F(， , ， , ()0 y（n)(x， y, , y(n-1) ) . 微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说，设函数y=j(x）在区间I上有n阶持续导数, 如果在区间I上， Fx, j(), j()， , () (x)=0,那么函数yj(x)就叫做微分方程F(x,y, y， , (n） )在区间I上的解. 通解：如果微分方程的
7、解中具有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相似,这样的解叫做微分方程的通解. 初始条件: 用于拟定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 =x0 时, y0 ,= y0 . 一般写成 , . 特解： 拟定了通解中的任意常数后来,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解. 初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y=f(x, y)满足初始条件的解的问题， 记为 . 积分曲线： 微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线 例3 验证: 函数 xC1cost+C2 si kt是微分方程 的解 解 求所给函数的导数: , 将及x的体现式代入所给方程
8、,得 -k(C1cos t+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+Csi kt)0. 这表白函数x=1ok+C2sint 满足方程,因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数=C1cos+C2snkt(k0)是微分方程的通解, 求满足初始条件 xt0 =A, t=0 =0的特解. 解 由条件x| t0 =A及x=C1 coskt+2 sin kt, 得 1=A. 再由条件x| t=0, 及x() =-kCsn t+kCcos kt,得 20. 把、的值代入xost+in kt中，得 x=cos t. 作业：8：4 . 2 可分离变量的微分方程 观测与分析: 求微分方程=2x的通解.为
9、此把方程两边积分,得y=2+C. 一般地, 方程=(x)的通解为(此处积分后不再加任意常数）. 2.求微分方程xy2的通解. 由于y是未知的, 因此积分无法进行， 方程两边直接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为, 两边积分, 得 , 或,可以验证函数是原方程的通解 一般地，如果一阶微分方程yj(x, y)能写成 (y)dy=f（x）dx形式,则两边积分可得一种不含未知函数的导数的方程 (y)=F()+C, 由方程G（)=(）C所拟定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程： 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: (,y）dx+Q(x, )dy=0在这种方程中， 变量x与y 是对称
10、的. 若把x看作自变量、看作未知函数, 则当Q(x,y)0时， 有 若把y看作自变量、x看作未知函数, 则当(x,y)0时, 有 . 可分离变量的微分方程: 如果一种一阶微分方程能写成 g(y）dy=f(x）dx(或写成y=j(x)y(y)）的形式， 就是说, 能把微分方程写成一端只含y的函数和, 另一端只含x的函数和d, 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程?（)y=2, 是. y1dyx (2)3x2+xy=, 是 y=(x2+5)dx.(3)(x+y2)dx-xyy=0, 不是.(4）y=1+x+y2+x2, 是. =(1+)(1+y2）.
11、(5)y=10x+y, 是. 10ydy=0xd（). 不是. 可分离变量的微分方程的解法： 第一步 分离变量， 将方程写成g(y)y =f()dx的形式; 第二步 两端积分:, 设积分后得G(y)=F(x)+C； 第三步 求出由G(y）=F(x)+C所拟定的隐函数=F（x）或=Y(y)（y)=F（x)+C, y=F (x）或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(）+C称为隐式（通)解. 例1 求微分方程的通解 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 ，两边积分得 ,即 ln|y=+C1, 从而 . 由于仍是任意常数, 把它记作C, 便得所给方程的通解 . 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t=时铀的含量为M0, 求在衰变过程中铀含量()随时间t变化的规律 解 铀的衰变速度就是(t)对时间t的导数. 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程,其中l(l0)是常数，l前的曲面号表达当t增长时M单调减少.即 由题意, 初始条件为 =0=0. 将方程分离变量得 两边积分,得, 即 lnM=-l+lnC， 也即MCe-t 由初始条件, 得
