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1、-存档编号_ _赣南师*学院数学与信息科学学院学士学位论文方差的性质及其应用自己把全文通读一遍，仔细检查一下格式排版，就可以定稿了系 别 数学与信息科学学院 届 别 2010届 专 业 数学与应用数学 学 号 1020151237 姓 名 鄢婷 指导教师 罗友泉 完成日期 2013年12月. z.-目录内容摘要1关键词1Abstract1Key words11 引言22 方差的根本性质及其证明22.1 方差的定义22.2方差的性质63 方差在现实生活中的应用83.1方差在经济管理决策中的应用83.2 方差在仪器比拟方面的应用93.3 方差在农业决策问题中的应用114 总结12参考文献13. z
2、.-内容摘要：方差的性质及相关结论是概率论中的一个重要概念。本文讲述了方差的定义和性质，并用方差解决了一些生活中的实际问题。关键词：方差 性质 应用Abstract：The nature of the variance and the relevant conclusion is an important concept in probability theory. This article tells the story of the definitions and properties of variance and variance to solve some practical pro
3、blems in their lives.Key words：The variance character application1 引言方差Variance，应用数学里的专有名词。在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。现代的生产方案决策则更多的应用了这一思想，对各因素发生大小的可能性数量化，通过计算分析可以比拟科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从中选择最正确方案，来指导生产，提高生产效率及收益。对于追求效益最大化的今天它的意义非常的重大。以下我们就现实生活中的问题，利用离散型随机变量的方差思想对实际问题进展分析计算，通过各个方案
4、的比拟选出最正确方案。下面我们介绍一些根本知识。2 方差的根本性质及其证明2.1 方差的定义数学期望描述了随机变量取值的“平均.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A，B两名射手，他们每次射击命中的环数分别为*，Y，*，Y的分布律为：*89100.20.60.2表1Y89100.10.80.1表2由于环，可见从均值的角度是分不出谁的射击技术更高，故还需考虑其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比拟集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数*与它的平均值之间的离差的均值来度量，愈小，说明*的值愈集中于的附近，即技术稳定；愈大，
5、说明*的值很分散，技术不稳定.但由于带有绝对值，运算不便，故通常采用*与的离差的平方平均值来度量随机变量*取值的分散程度.此例中，由于由此可见B的技术更稳定些.定义1 设*是一个随机变量，假设存在，则称为*的方差Variance，记为，即. 1称为随机变量*的标准差 Standard deviation 或均方差(Mean square deviation)，记为.根据定义可知，随机变量*的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.假设*取值比拟集中，则较小，反之，假设*取值比拟分散，则较大.由于方差是随机变量*的函数的数学期望.假设离散型随机变量*的分布律为.，则. 2假设连续型随机变
6、量*的概率密度为，则 3由此可见，方差是一个常数，它由随机变量的分布惟一确定.根据数学期望的性质可得：.于是得到常用计算方差的简便公式. 4例1 设有甲，乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进展检验，结果如下表：*2829303132P0.10.150.50.150.1表3Y2829303132P0.130.170.40.170.13表4其中*，Y分别表示甲，乙两种棉花的纤维的长度单位：毫米，求与，且评定它们的质量.解 由于，故得，.因，所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维比拟均匀，故甲种棉花质量较好.例2 设随机变量*的概率密度为f*=求.解 ，于是 .2.2方差的性质方差有下面几条重要的
7、性质.设随机变量*与Y的方差存在，则1设为常数，则；2设为常数，则；3；4假设*，Y相互独立，则；5对任意的常数，有.证 仅证性质4，5.4 =.当*与Y相互独立时，与也相互独立，由数学期望的性质有.因此有.性质4可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.5对任意常数c .故对任意常数,有.例3 设相互独立，且服从同一分布，分布律为,.证明 服从参数为的二项分布，并求和.解 *所有可能取值为0，1，n，由独立性知*以特定的方式例如前k个取1，后n-k个取0取k的概率为,而*取k的两两互不相容的方式共有种，故, k=0，1，2，n,即*服从参数为n，p的二项分布.由于， i=1，2，n
8、，故有由于相互独立，得3 方差在现实生活中的应用数学期望反响的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反响随机变量取值在其平均值附近的离散程度。现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进展评估，通过计算分析可以比拟科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最正确方案。 在当前社会生产中，更多商家等追求的是效益最大化，以下我将就现实生活中的种种问题，利用离散型随机变量的期望和方差的思想对实际问题进展分析计算，并通过各个方案的比拟得出最正确方案。3.1方差在经济管理决策中的应用在进展经济管理决策之前, 往往存在不确定的随机因素, 从而所作的
9、决策有一定的风险, 只有正确科学的决策才能到达以最小的本钱获得最大的平安保障的总目标, 才能尽可能节约本钱.利用概率统计知识可以获得合理的决策, 从而实现这个目标.下面以数学方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用.例 4：*人有一笔资金,可投入3个工程:房产*、地产y和商业z, 其收益和市场状态有关, 假设把未来市场划分为好、中、差3个等级, 其发生的概率分别为,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元), 见表请问:该投资者如何投资好？各种投资年收益分布表好 中 差房产 11 3 -3地产 6 4 -1商业 10 2 -2解 我们先考虑数学期望，可知: 根据数学期望
10、可知, 投资房产的平均收益最大, 可能选择房产, 但投资也要考虑风险.我们再来考虑它们的方差:因为方差愈大, 则收益的波动大, 从而风险也大, 所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多, 假设收益与风险综合权衡, 该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元, 但风险要小一半以上。3.2方差在仪器比拟方面的应用 仪器的优劣，以及其使用价值对于生产家来说是很重要的一个因素，同时也是企业完成生产任务的保障，因此，数学期望与方差这一数字特征给商家在对仪器进展选购时提供了参考。例 5：分别用A、B两种测量仪器屡次测量*一零件的直径，结果如下：1181191201211220.0
11、60.140.600.150.051181191201211220.090.150.520.160.08试比拟这两种仪器的优劣。解：用随机变量和的数学期望与方差来做比拟：；,因为A的方差小于B的方差，说明A仪器的准确度比B仪器好，所以选择A仪器优于B仪器。3.3方差在农业决策问题中的应用 在农业生产当中，选种优良农作物品种是去的丰收的前提，人们通过在*一特定的区域分别种两种以上品种。经过连续几年的实验，统计有关数据应用概率中的方差的思想确定产量稳定的品种即最优品种，以下我们看选小麦种的例子。例 6：甲乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下单位：吨/平方千米品种第一年第二年第三年第四
12、年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：1先求出甲乙两种小麦产量的期望值可以得出甲乙两种小麦期望相等2求出甲乙两种小麦产量的方差甲的方差小于乙的方差，从而可以得出小麦品种甲单位比拟稳定，选择种植甲小麦。4 总结以上从多个方面列举了数学期望与方差在实际生活生产中的应用，这一思想从理论的角度测出方案所能到达的预期效果和存在风险的大小等，给实际生活生产提供了指导性的建议，从而使决策者选择最正确方案。在当前实际生活中，还有更多的问题需要用数学期望与方差这一思想来解决，掌握并利用好这一思想，便能给生活工作带来更多方便。参考文献1 茆诗松，概率论与数理统计教程，高等教育2 孙荣恒，应用概率论，科学3 严士健，概率论与数理统计，高等教育4 复旦大学，概率论，人民教育5 华东师*大学，概率论与数理统计，高等教育6 孙玉芬，概率统计在商品生产和销售中的一些应用7 胡细宝，概率论与数理统计，邮电大学8 同济大学数学教研室，高等数学，高等教育9 吴志高，概率论与统计，高等教育10 梁之舜，概率论及数理统计，高等教育11 经济计量学，经济教育12 施伯乐，数学图书馆概论，电子工业. z.
