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1、第 11 章 结构的极限荷载前面各章所讨论的结构计算均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。当结构的最大应力达到材料的极限应力b时，结构将会破坏，故强度条件为nb max K 式中，b 为结构的最大工作应力；b为材料的许用应力；b为材料的极限应力，对于 maxn脆性材料为其强度极限b，对于塑性材料为其屈服极限b ； K为安全系数。基于这种假 bs 定的结构分析称为弹性分析。从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点。对于塑性材料的结构，尤其是超静 定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破 坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计是不
2、够经济合理的。另外，弹性 分析无法考虑材料超过屈服极限以后，结构的这一部分的承载能力。塑性分析方法就是为了弥补弹性分析的不足而提出和发展起来的。它充分地考虑了材 料的塑性性质，以结构完全丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。此时的荷载 是结构所能承受荷载的极限，称为极限荷载，记为F。结构的强度条件可表示为uF W FK式中F为结构工作荷载，K为安全系数。显然，塑性分析的强度条件比弹性分析更切合实际。塑性分析方法只适用于延展性较好的塑性材料的结构，对于脆性材料的结构或对变形 有较大限制的结构应慎用这种方法。对结构进行塑性分析时，平衡条件和几何条件与弹性分析时相同，如平截面假设仍然 成立，所
3、不同的是物理条件。为了简化计算，对于所用的材料，常用如图11.1 所示的应力 应变曲线。当应力达到屈服极限以前，材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；当应力 达到屈服极限 b 时，材料开始进入塑性变形阶段，应力保持不变，应变可无限增加；卸 s载时，材料恢复弹性但存在残余变形。凡符合这种应力应变关系的材料，称为理想弹塑 性材料。实际钢结构一般可视为理想弹塑性材料。对于钢筋混凝土受弯构件，在混凝土受 拉区出现裂缝后，拉力完全由钢筋承受，故也可采用这种简化的应力应变曲线进行塑性 分析。CBTTOD图 11.111.1 极限弯矩、塑性铰和破坏机构面研究静定梁在弹塑性阶段的受力和变形特点，并介绍与极限荷载
4、计算有关的一些基本概念。理想弹塑性材料的矩形截面梁，承受纯弯曲的作用如图11.2(a)所示。随着荷载M逐渐增加，梁的变形可分为3 个阶段：弹性阶段、弹塑性阶段和塑性阶段。图 11.2(1) 弹性阶段：当荷载较小时，截面上所有正应力都小于屈服极限a，应力与应变s呈线性关系，梁处于弹性阶段。这一阶段直至截面边缘处的正应力达到屈服极限 a 为止s(图11.2(b)。这时，截面上的弯矩称为屈服极限弯矩，记为M，此梁屈服极限弯矩为sbh2a(2) 弹塑性阶段：当荷载继续增加时，从边缘开始有一部分材料进入塑性流动状态，它们应力都保持a的值。而截面中部的材料仍处于弹性状态(图11.2(c)。s(3) 塑性阶
5、段：随着荷载的继续增加，塑性区域将由外向里扩展到整个截面，并且截 面上所有正应力都达到屈服极限a，其应力分布如图11.2(d)所示。此时，截面上的弯矩已s达到结构所能承担的极限值，称为极限弯矩，记为M。u在塑性阶段，截面的极限弯矩值保持不变，变形仍可继续发展，则两个无限靠近的相 邻截面沿极限弯矩方向发生有限的相对转动，相当于在该截面处形成一个铰，这样的截面 称为塑性铰。塑性铰与普通铰的差别在于：普通铰是双向的，铰的两侧截面可相对自由转 动，而塑性铰是单向的，其两侧截面只能沿极限弯矩方向发生相对转动；普通铰不能传递 弯矩，而塑性铰能传递极限弯矩；普通铰的位置是固定的，而塑性铰随卸载而消失或随荷
6、载不同而变化。极限弯矩是一个截面所能承受的最大弯矩，与外力无关，仅与材料的物理性质及截面的几何形状和尺寸有关。截面的极限弯矩可根据该截面处于塑性流动状态时的正应力分布图形来确定。设其受压和受拉部分的面积为A1和A2，由于梁在荷载作用时轴力为零，则a A 一 a A = 0又即 s 1 s A2A = A =-1 2 2式中， A 为梁的横截面面积。这表明受拉区和受压区的面积相等，即这时中性轴为等分截 面轴。截面上受压部分上的合力 Aa 与受拉部分上的合力 A a 数值相等，方向相反，构1 s 2 s成一个力偶，该力偶矩就是该截面的极限弯矩，即有M = a Aa +a A a =a (s + s
7、 )u s 1 1 s 2 2 s 12其中a1和a2分别为面积A1和A2的形心到等分截面轴的距离；s1和s2分别为A1和A2对该 轴的静矩(图 11.2(e)。若令W = s + s(11-1)s12W称为塑性截面系数，则极限弯矩为$M =b W(11-2)uss对于如图11.2(a)所示矩形截面梁，由式(11T)有bh h bh2W = s + s = 2 x x =s 122 44则极限变矩为bh2M =o w =ous s4 s故而极限弯矩与屈服极限弯矩之比为M = 1.5M$这表明对于矩形截面来说，按塑性计算比按弹性计算承载能力提高50%。静定结构出现一个塑性铰或超静定结构出现几个塑
8、性铰而成为几何可变体系或瞬变体 系，称为破坏机构(简称机构)。此时结构已丧失了承载能力，即结构达到了极限状态。极 限状态时的荷载就是极限荷载。11.2 静定结构的极限荷载静定结构无多余约束，只要出现一个塑性铰则成为破坏机构。塑性铰的位置可根据结 构弹性弯矩图及各杆截面情况分析得到。对于各杆均为等截面的结构，塑性铰必出现在弯 矩绝对值最大的截面，即 |M| 处。对于各杆截面不同的结构，塑性铰出现在所受弯矩与 max极限弯矩之比绝对值最大的截面，即|处。在塑性铰的位置确定后，令塑性铰处的M maxu 弯矩等于极限弯矩，利用平衡条件即可求出结构的极限荷载。【例11-1】试求如图11.3(a)所示等截
9、面简支梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩 为M。u解：该等截面梁的塑性铰将出现在弯矩值最大的截面上，即在跨中荷载F的作用处。该处出现塑性铰时，梁将成为破坏机构(图11.3(b)，黑小圆点表示塑性铰)，此时该截面弯 矩达到极限弯矩M。u根据静力平衡方程作出极限状态时的弯矩图，如图11.3(c)所示，由Fl则求出极限荷载为4Mul上面利用静力平衡方程求得极限荷载的方法称为静力法。此外，还可以根据虚位移原 理，由虚功方程(平衡条件的另一种形式)确定极限弯矩，即为机动法。设如图11.3(d)所示机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移，由虚位移原理，求出虚功方程为F x - 9 = M x 29 u 2 u由
10、虚位移9的任意性，则有4MF =uule-12/2(b)(d)图 11.3a11.3 单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁由于具有多余约束，当出现一个塑性铰时，只能改变梁的工作条件，产 生新的内力分布，但并不足以使其成为破坏机构。当相继出现更多的塑性铰后，单跨超静 定梁才能变成几何可变体系或瞬变体系，形成破坏机构，丧失承载能力。例如，如图11.4(a)所示的一端固定一端铰支的等截面梁，跨中承受集中荷载F的作 用，由弹性分析的弯矩图(图11.4b)可知，最大弯矩发生在固定端A处，当荷载增大到一定 值时，截面A首先出现塑性铰，此时，梁已成为在A端作用极限弯矩M，并且跨中承受 u荷载 F 的简支梁。若
11、继续增加荷载， A 端弯矩不变，而跨中截面 B 的弯矩达到极限值 M ，在该截面形成塑性铰。此时， 梁已出现两个塑性铰， 即梁丧失了承载能力 u(图 11.4(e)。对于单跨超静定梁，如果能根据其受力情况和杆件截面特征，直接确定破坏机构的形 式，就无需考虑结构的弹塑性变形的发展过程，而可直接采用 11.3 节所述的静力法或机 动法求出梁的极限荷载。图 11.4如图11.4(a )所示超静定梁的极限荷载计算如下：1) 用静力法求解 根据此梁的受力状况可直接确定其实际破坏机构。显然，机构中两个塑性铰必发生在 正负弯矩最大的截面，即截面A和B处。此时令各塑性铰处的弯矩均等于极限弯矩M , u 按静力
12、平衡条件绘出极限状态下的弯矩图，如图11.4d所示。由弯矩叠加法，则有6Mul2) 用机动法求解设机构沿荷载F正方向产生任意微小虚位移(图11.4(e)，由虚功方程，有F X-e = M X0+ M X20u 2uu由虚位移0的任意性，则有6Mul【例11-2试求如图11.5(a)所示两端固端等截面梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩 为 M 。u解：此梁必须出现 3 个塑性铰才能成为瞬变体系而进入极限状态。由于最大正弯矩发 生在截面C,而最大的负弯矩发生在支座固端截面A、B,故极限状态下3个塑性铰必出 现在这3个截面。1) 用静力法求解作出极限状态下的弯矩图，如图11.5(b)所示，由弯矩叠加法，
13、则有F abu M = Mluu因此得2lF = Mu ab u(a)(b)(c)图 11.52) 用机动法求解设机构沿荷载F正方向产生任意微小虚位移(图11.5(c),列虚功方程如下FaO = M 0+ M -0+ M -0u u u b u b仍可解得2lF = Mu -b u【例11-3】试求如图11.6(a)所示等截面梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩为M。u解：此梁出现两个塑性铰即为破坏机构。根据弹性弯矩图(图11.6b),可知，一个塑性 铰在A截面处，另一个塑性铰在正弯矩最大即剪力等于零截面C处，截面C位置待定。 现用静力法求解。设截面C到右支座的距离为x(图11.6(c)。由机构的平
14、衡条件，有工 M = 0 F = 1(q l x - M )(a)ABy l u 2 u1S M = 0 M = F x 一 q x 2(b)C C By 2 u_(ql M )1=(u u) x 一 q x22 l2 u令dMc = 0 则有 dx即4(c)甌图 11.6(b)(c)2Mq = uu l(l 一 2x)将式(c)代入式(b),并令M = M，得Cux 2 + 2lx 12 = 0 解方程，得x = (1 Q)l舍去负根，得塑性铰位置为_x =(、込-1)1 = 0.41421将x值代入式(c)，得极限荷载为11.66M q =uul 211.4 比例加载时关于极限荷载的几个定
15、理比例加载是指作用在结构上的所有荷载增加时，始终保持它们之间原有的固定比例关系，全部荷载可用一个参数F来表示，且不出现卸载现象。本章只考虑比例加载的情况。1. 结构处于极限状态时，应同时满足下列3 个条件。(1) 机构条件：在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构 (几何可 变体系或瞬变体系)，并且可沿荷载方向发生单向运动。(2) 屈服条件：在极限状态中，结构上任一截面的弯矩的绝对值都不超过其极限弯矩 值，即 IM IW M。u(3) 平衡条件：在结构的极限受力状况中，结构的整体或任一局部能维持瞬间的平衡 状态。由前面的算例可知，确定极限荷载的关键在于找出结构的破坏机构。但在结构和荷载 较复杂时，真实的破坏机构形式却不容易直接确定，为此，
