《初中数学竞赛专题复习第一篇代数第6章函数试题2新人教版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛专题复习第一篇代数第6章函数试题2新人教版含答案（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章函数6335 已知点M、N的坐标分别为 M(0,1)、N(0,1)，点P是抛物线y=x2上一4个动点.(1 )判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线 y - 一1的位置关系；(2)设直线PM与抛物线y =丄x2的另一个交点为Q，连结NP、NQ，求证：4.PNM =. QNM .解析(1)设点P的坐标为(x0,-x(2)，则4PM =& +亠 了 =尿运 +1)2 =-x0 +1 ,而点P到直线y = _1的距离为1 2 12 xo -(-1)xo 1 .44所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线 y=-1相切.(2)过点P、Q分别作直线y - -1的垂线，垂足分别为 H、R，由(1)知
2、，PH二PM , 同理可得，QM =QR .因为，PH、MN、QR都垂直于直线 y - -1，所以，PH / MN / QR，于是QM MPRN _NH，于是QR PH RN 一 HN，所以，Rt PHN s Rt QRN，于是.HNP = . RNQ，从而.PNM = QNM .6.3. 36 已知抛物线 G:y-x -3x 4和抛物线 C2 : y =x -3x-4相交于A、B两 点，P是在抛物线 G上且位于 A和B之间的一点，Q是在抛物线C2上且位于 A和B之间的 一占八、#y(1) 求线段AB的长；(2) 当PQ / y轴时，求PQ长度的最大值.解析(1)解方程组 2y = -X -3
3、x 4,y =x2 -3x -4,% =6,丫2 - -6,所以，点A、B的坐标分别是 A(/,6)、B(2, -6)，于是AB=J(2 2)2 (_6一6)2 =4、10 .-4),(2)当PQ / y轴时，可设点 P、Q的坐标分别为P(t,-t2-3t 4) Q(t,-2 : t ：2 ,于是：2(4 -t2)乞8 ,当t =0时等号成立故PQ的长的最大值为 &(p,q).6.3.37 求使得不等式x2 +px +q兰2，当1 5时恒成立的实数对解析 令f(x)=x2+px+q ),此二次函数图象的对称轴为x=卫，开口向上.2(1 )当P 却时，有2 岂 f (1) ：: f (5)岂2
4、, 2p 一 -2,25 5p q 乞2,1 p q _ -2.由、，得-p -3 乞5p -23 .于是，p冬-5，这与式矛盾.(2)当1 ：: -卫3时，有22 _f(卫)：f (5) -2 ,2-6 空 p ： 2,I /2-2,425 + 5p+q 兰2.由、，得1 25 p 23p -2 .4于是 p2 20p 84 0 , _14 乞 pZ；-6.结合式，得p = _6，从而q =7，即(j6,7)为所求的实数对.(3)当_ 4a _2b c都是整数，因此a -b =(a -b c) -c与 4a -2b =(4a 2b c) - c是整数，2a =(4a -2b) 2(a b),
5、 2b =(4a -2b) -4(a -b).也是整数.当x是偶数时，设x=2k，贝U2 2y =axbx 亠c =4ak2bk 亠c ,因为2a、2b、k、c是整数，所以y是整数.当x为奇数时，设x=2k V，则y 二 ax2bx c=a(2k 1)2 -b(2k 1) c= 4ak2 4ak 2bk (a-b c)仍是整数.(2)因为x=0时y=c，故c必是整数，但a、b不一定是整数例如函数1 2 11y x x 1 x(x 1) 1 .2 22由于对任何整数x , x与x 1中必有一个是偶数，因此-x(x 1)是整数，y的值必是整数.但2这个函数的系数不全是整数.6.3. 40 给定二次
6、三项式 f (xx2 ax b .已知方程f(f(x)=0有四个不同实根，且其中两个根的和等于-1 证明：b 一-丄4解析 我们用c,、C2 (q _叨 表示方程，f(x)=0的根，人、x表示方程f(f(x) =0的两个 和为-1的根.后一方程的根的集合等于方程 f(x)二c,与f(x) 根的集合的并集.如果x1、X2同时是这两个方程中的某一个的根，由韦达定理，=1 故G C2 = 一1 这推出C2乞一丄再_ 2利用方程f(x) =C2的判别式非负，得1-4b 4C2_O，这推出bl.-4现在考虑另一种情况，不失一般性可写成x2axiCi,x；ax2 b=C2.将它们相加得2 2x1 亠x2
7、亠a(Xt x2) 2bc2.由韦达定理和已知条件得g c2 = -a , x1 x = -1，故1 2 2 1 2 1b(x1 x2)(x1 x2)2446. 4含绝对值的函数6.4.1 作函数y = 3 _x x -1的图象.解析当x ：1时，y =(3 -x) (1 -x) - -2x 4 ;当 1 _x ：3时，y=(3 X)(X -1)=2 ；当x _3时，y =(x -3) (x -1) =2x -4 .所以-2x 4, x：:1,y = 2,1 Ex ：:32x -4, x _3.它的图象如图所示.6.4.2 把一抛物线在x轴上方的部分，改成它关于x轴对称的图形，得到图中实线表示
8、的曲线，则该曲线是下列函数()的图象.A yJx2-2x-2B. y -x2 2x 22 2C.y =- +2x +2D. y =一x2 _2x_222解析先按图象求出原抛物线所对应的二次函数，然后根据实数绝对值的意义找出实线所表 示的曲线是哪一个函数的图象.原抛物线的顶点为(2, 4),开口向下，原抛物线所对应的二次函数可写成2y =a(x -2)4， a ：0 .图中实线部分过点(0, 2)，故原抛物线过(0,2)，于是有2 =4a 4 , a - -1 .原抛物线对应2的二次函数是 y -一1?)24 ,2即1 2,-丄小y x 2x 2 .2因此，实线部分是函数1 2y = +2x+2
9、 的图象.选(D).643 作函数y = x25x+6的图象.解析当x _2或3时，x -5x 6 -0 ,于是2y =x 5x 亠6 ；当 2 ： x ： 3 时，x2 5x 6 ： 0，于是2y = (X -5x 6).所以x2 - 5x 6, 一 -(x2 -5x 6),x込2或x丄3,2 : x ：: 3于是，得图象如图所示.6.4.4 求下列函数的最小值(1) f(x) =x -aix a?;(2) f (x)二 x ai| -ix _a2|“|x _a ;(3) f(x)=x印 xa?xa3xa4 .解析(1)按实数绝对值的意义ai a2 -2x,=a2-ai,2x -ai -a2
10、,当 x：ai 时；当$ _x _a2时； 当x a2时.对 g(x) =ai a2-2x(xai)而言,g(x)的最小值为 g(a”=a2-ai;对 h(x) =2x -ai -a2(x _a2)而言，h(x)的最小值为 h) 2由此可见，当ai _x_a2时，f(x)取最小值a2-a(2) 根据第(1)小题的结论，函数 x -a-jx -a3在ai_x_a3时取最小值a3 - ai;又函数 x - a?显然在x =a2时取最小值0.故 f (x) = x - a1 |x -氏 | 计 x - a3 在 x = a2 对取最小值 a3 - ai .(3) 根据第(1)小题的结论，函数 a- -a4在aXaq时取最小值aai ；函数 x - a2 -|x - a3 在 ai _
