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1、等差数列知识点及类型题一、数列由与的关系求由求时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。例1 根据下列条件，确定数列的通项公式。分析：将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则是等差数列；（2）前n项和法：若数列的前n项和是的形式（A，B是常数），则是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只
2、需说明任意连续三项不是等差数列即可。例2已知数列的前n项和为，且满足（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式。【变式】已知数列an的各项均为正数，a11.其前n项和Sn满足2Sn2paanp(pR)，则an的通项公式为_（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列是等差数列。例3已知数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公
3、式。分析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n项和最小；（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。例4在等差数列中，其前n项和为。（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；（2）求。分析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。例5已知数列是等差数列。（
4、1）若（2）若【变式】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，满足关系式2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是bn，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn0，anan1，于是an是等差数列，故an1(n1).（二）等差数列的基本运算1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,“知三求二”，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列是等差数列。例3已知数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公式。分析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由=3得又，得由联立得。（2）由（1）得，（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n
