《2018届高考数学黄金考点精析精训考点12三角函数的图象与性质文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学黄金考点精析精训考点12三角函数的图象与性质文（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点12 三角函数的图像和性质【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查三角函数的值域与最值(2)考查三角函数的单调性(3)利用三角函数的值域和单调性求参数的值2.命题方向预测：(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题.3.课本结论总结：(1)由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，有两种变换方式：先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对
2、x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值(2)的性质：定义域为R，值域为；是周期函数，最小正周期为；在单调递增，在单调递减；当时，；当时，；其对称轴方程为,对称中心坐标为.(3)的性质：定义域为R，值域为；是周期函数，最小正周期为；在单调递增，在单调递减；当时，；当时，；其对称轴方程为,对称中心坐标为.（4）的性质：定义域为，值域为；是周期函数，最小正周期为；在单调递增；其对称中心坐标为.4. 名师二级结论：（1）由ysin x的图象变换到yAsin (x)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(
3、0)个单位原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值（2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，由周期T确定，即由T求出，由特殊点确定(3)作正弦型函数yAsin(x)的图象时应注意：首先要确定函数的定义域；对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.(4)求三角函数值域(最值)的方法：利用sin x、cos x的有界性；形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域
4、(最值)问题5.、的性质：周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将看作一个整体.5.课本经典习题：(1)新课标A版第147 页，第 A9 题（例题）已知.求它的递减区间；求它的最大值和最小值.【解析】令，解得，即函数的单调区间为;由题意得，.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质(2) 新课标A版第 147 页，第 A10题（例题）已知函数.求的最小正周期；当时，求的最
5、小值以及取得最小值时的集合.【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质6.考点交汇展示：(1)与不等式的交汇【2017北京，文16】已知函数.（I）f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，【答案】（） ；（）详见解析.【解析】试题解析：（）.所以的最小正周期.（）因为，所以.所以.所以当时，. (2)与平面向量的交汇【2018届河南省洛阳市高三期中】已知向量.（I）若，求的值;（II）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数 的单调增区间及图象的对称中心.【答案】（I）；（II）， .【解析】试题分析
6、：（I）由可得，从而可得，根据二倍角的正切公式可得结果；（II）由辅助角公式可得，根据平移变换可得，利用正弦函数的单调性，解不等式即可得结果.试题解析：（I）， 即 ， ， （II）由（I）得，从而 ， 解得，的单调增区间时. 由得即函数图象的对称中心为. (3)与解三角形的交汇【2017届天津市耀华中学一模】已知向量，设函数.（1）求在上的最值；（2）在中，分别是角的对边，若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）（2）.【考点分类】热点一 三角函数的图象1.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2By=f(x)的图像关于直线x=对
7、称Cf(x+)的一个零点为x=Df(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】2.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】3.某同学用“
8、五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；（）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值. 【答案】（）；（）.【解析】（）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：00500且函数表达式为. （）由（）知 ，得. 因为的对称中心为，. 令，解得， . 由于函数的图象关于点成中心对称，令，解得，. 由可知，当时，取得最小值. 【方法规律】1.用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为或的形式；求出周期T；求出振幅A；列出一个周期内的五个特殊点，当
9、画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点2.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x轴的交点，可由，解得x(kZ)，即其对称中心为(，0)(kZ)3.相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为.【解题技巧】根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A；(2)k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k；(3)的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T(0)来确定；(4)的确定：法一：代入图像的最高点坐标或最低点坐标，则或，求值法二：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点的横坐标为(即令x0
10、，x)确定如 ：将函数f(x)sinx(其中0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则的最小值是 A.6B.C.D.【答案】D【易错点睛】研究三角函数图像的变换时，要注意由的图像变换成的图像的变换过程:的图像由的图像向左（）或向右（）平移个单位长度.如：为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 【答案】D【解析】，故只需将向左平移个单位热点二 三角函数的最值1.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为（ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）7【答案】B【解析】因为，而，所以当时，取最大值5，选B.2.
11、 【2018届安徽省滁州市高三9月联考】若函数的值域是，则的最大值是_【答案】【解析】令,作出的图象，使其值域为，则定义域最长为即， 最大为，即的最大值是.3.【2018届江苏省泰州中学高三10月月考】已知函数.（1）将化简为的形式，并求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.【答案】（1） ， ；（2）时， ， 时， .【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值试题解析：（1）所以.（2）因为，所以所以，所以，当，即时， ，当，即时， .【方法规
12、律】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.【解题技巧】求三角函数的最值问题，最主要的题型是：通过三角恒等变形将所给解析式化为的形式，再进行求解.当时，；当时，则先求的范围，再利用正弦函数的图像写出函数的最值，再进一步求解.如：函数的最大值为_.【答案】1【易错点睛】在求函数的最值时，一般思路通过三角恒等变换化成的形式，但不要忽视变形中的等价性，如
13、定义域的变化.如：【河南省安阳一中2015届高三第一次月考6】函数的值域是 （ ）A4，0 B C D【答案】D热点三 三角函数的性质1.【2017山东，文7】函数 最小正周期为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为,所以其周期,故选C. 2.【2018届辽宁省鞍山市第一中学高三上第一次模拟】已知函数， （1）求的对称中心；（2）讨论在区间上的单调性.【答案】（1）对称中心为， ；（2）增区间为，减区间为.【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间试题解析：1）由已知令，得，对称中心为， .（2）令， 得， ,增区间为 令， 得， ,增区间为 上的增区间为，减区间为.【方法规律】、的性质：周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式研究
