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1、 几何部分压轴题3（2013江西）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）AF=AG=AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB数学思考：在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探究：在任意ABC中，仍分别以AB和AC为
2、斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状答： 等腰直角三角形思路分析：操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出DFMMGE，根据其性质就可以得出结论；类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出DFMMGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；解：操作发现：ADB和AE
3、C是等腰直角三角形，ABD=DAB=ACE=EAC=45，ADB=AEC=90在ADB和AEC中，ADBAEC（AAS），BD=CE，AD=AE，DFAB于点F，EGAC于点G，AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=ACAB=AC，AF=AG=AB，故正确；M是BC的中点，BM=CMAB=AC，ABC=ACB，ABC+ABD=ACB+ACE，即DBM=ECM在DBM和ECM中，DBMECM（SAS），MD=ME故正确；如图，连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，整个图形是轴对称图形，故正确AB=AC，BM=CM，AMBC，AMB=AMC=90，ADM=9
4、0，四边形ADBM四点共圆，AMD=ABD=45AM是对称轴，AME=AMD=45，DME=90，MDME，故正确，故答案为：数学思考：MD=ME，MDME理由：如图，作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，AF=AB，AG=ACABD和AEC是等腰直角三角形，DFAB，DF=AB，EGAC，EG=AC，AFD=AGE=90，DF=AF，GE=AGM是BC的中点，MFAC，MGAB，四边形AFMG是平行四边形，AG=MF，MG=AF，AFM=AGMMF=GE，DF=MG，AFM+AFD=AGM+AGE，DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），DM=ME，FDM=
5、GMEMGAB，GMH=BHMBHM=90+FDM，BHM=90+GME，BHM=90+GME，BHM=DME+GME，DME+GME=90+GME，即DME=90，MDMEDM=ME，MDME；类比探究：如图3，点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，MFAC，MF=AC，MGAB，MG=AB，四边形MFAG是平行四边形，MG=AF，MF=AGAFM=AGMADB和AEC是等腰直角三角形，DF=AF，GE=AG，AFD=BFD=AGE=90MF=EG，DF=MG，AFM-AFD=AGM-AGE，即DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），MD=ME，MDF=EMGMGAB，
6、MHD=BFD=90，HMD+MDF=90，HMD+EMG=90，即DME=90，DME为等腰直角三角形8（2013盐城）阅读材料如图，ABC与DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明BOFCOD，则BF=CD解决问题（1）将图中的RtDEF绕点O旋转得到图，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，若ABC与DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图，若A
7、BC与DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角ACB=EDF=，请直接写出的值（用含的式子表示出来）8解：（1）猜想：BF=CD理由如下：如答图所示，连接OC、ODABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，OB=OC，BOC=90DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，OF=OD，DOF=90BOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，BOFCOD（SAS），BF=CD（2）答：（1）中的结论不成立如答图所示，连接OC、ODABC为等边三角形，点O为边AB的中点，=tan30=，BOC=90DEF为等边三角
8、形，点O为边EF的中点，=tan30=，DOF=90=BOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，=，BOF=COD，BOFCOD，（3）如答图所示，连接OC、ODABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，=tan，BOC=90DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，=tan，DOF=90=tanBOF=BOC+COF=90+COF，COD=DOF+COF=90+COF，BOF=COD在BOF与COD中，=tan，BOF=COD，BOFCOD，10（2013衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点
9、（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由10（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解
10、：结论ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（3）解：ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MAN，ABCAMN，又BAM=BAC-MAC，CAN=MAN-MAC，BAM=CAN，BAMCAN，ABC=ACN例5 （2013攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，ABCD，点B（10，0），C（7，4）直线l经过A，D两点，且sinDAB=动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，
11、同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿BCD的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线ADC相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点P，Q运动的时间为t秒（t0），MPQ的面积为S（1）点A的坐标为 （-4，0），直线l的解析式为 y=x+4；（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值思路分析：（1）利用梯形性质确定点D的
12、坐标，利用sinDAB=特殊三角函数值，得到AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程：当0t1时，如答图1所示；当1t2时，如答图2所示；当2t时，如答图3所示（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；（4）QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解解：（1）C（7，4），ABCD，D（0，4）sinDAB=，DAB=45，OA=OD=4，A（-4，0）设直线l的解析式为：y=kx+b，则有，解得：k=1，
13、b=4，y=x+4点A坐标为（-4，0），直线l的解析式为：y=x+4（2）在点P、Q运动的过程中：当0t1时，如答图1所示：过点C作CFx轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5过点Q作QEx轴于点E，则BE=BQcosCBF=5t=3tPE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，S=PMPE=2t（14-5t）=-5t2+14t；当1t2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=PMPE=2t（16-7t）=-7t2+16t；当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=
