《高考数学 二轮专名师讲义：第6讲导数及其应用含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 二轮专名师讲义：第6讲导数及其应用含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第6讲导数及其应用 1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等1. 已知m为实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则f(x)的单调递减区间为_答案：解析： f(x)3x22mx，f(1)32m1，m2， f(x)3x24x0，x0.2.
2、已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件答案：9解析：yx2810，解得0x9；令导数yx2810，解得x9.所以函数yx381x234在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，所以在x9处取极大值，也是最大值3. 若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_答案：解析：因为f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x)0，得x.据题意得解得1k.4. 若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_. 答案：
3、a0解析：由题意知该函数的定义域为(0，)，由f(x)2ax.因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为在x0范围内，导函数f(x)2ax存在零点等价于方程2ax0在(0，)内有解，显然可得a(，0)题型一 利用导数求曲线的切线方程例1 (20xx浙江卷)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1) 若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2) 若|a|1，求f(x)在闭区间0，|2a|上的最小值解：(1) 当a1时，f(x)2x36x26x， f(2)1624124. f(x)6x212x6， f(2)242466， yf(x)在(2，f(2)处的切线
4、方程为y46(x2)6xy80.(2) f(x)6x26(a1)x6a6x2(a1)xa6(x1)(xa)， 当a1时，x(，1a，)时，yf(x)递增，x(1，a)时，yf(x)递减， 当x0，2|a|时，且2|a|2，x0，1a，2|a|时，yf(x)递增，x(1，a)时，yf(x)递减， 最小值是f(a)2a33(a1)a26a23a2a3；再比较f(0)0与f(a)的大小， 当a3时，f(x)min3a2a3，当1a3时，f(x)min0. 当a2，在x0，2|a|时，x(0，1)时，yf(x)递减，x1，2|a|时，yf(x)递增， 最小值是f(1)3a1.综上所述：f(x)在0，|
5、2a|上的最小值g(a)已知函数f(x)ax3x2ax，其中aR，xR.(1) 当a1时，求函数f(x)在x1处的切线方程；(2) 若函数f(x)在区间(1，2)上不是单调函数，试求a的取值范围；(3) 已知b1，如果存在a(，1，使得函数h(x)f(x)f(x)(x1，b)在x1处取得最小值，试求b的最大值解：(1) 当a1时，f(x)x3x2x，则f(x)3x22x1，故kf(1)4.又切点为(1，1)，故所求切线方程为y14(x1)，即4xy30.(2) 由题意知，f(x)3ax22xa在区间(1，2)上有不重复的零点，由f(x)3ax22xa0，得(3x21)a2x.因为3x210，所
6、以a.令y，则y0，故y在区间(1，2)上是增函数，所以其值域为，从而a的取值范围是.(3) h(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(2a)xa，由题意知h(x)h(1)对x1，b恒成立，即ax3(3a1)x2(2a)xa2a1对x1，b恒成立，即(x1)ax2(2a1)x(13a)0对x1，b恒成立当x1时，式显然成立；当x(1，b时，式可化为ax2(2a1)x(13a)0，令(x)ax2(2a1)x(13a)，则其图象是开口向下的抛物线，所以即其等价于.因为在a(，1时有解，所以1，解得10；当x(1，0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1，0)上单调递
7、减(2) f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0.若a1，则当x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时，g(x)0，即f(x)0，bR，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)、g(x)是f(x)、g(x)的导函数若f(x)g(x)0在区间1，)上恒成立(1) 求实数b的取值范围；(2) 当b取最小值时，讨论函数h(x)f(x)g(x)在1，)上的单调性解：(1) f(x)x3ax，g(x)x2bx，
8、f(x)3x2a，g(x)2xb.x1，)，f(x)g(x)0，即x1，)，(3x2a)(2xb)0. a0， 3x2a0， x1，)，2xb0，即x1，)，b2x， b2，故所求实数b的取值范围是2，)(2) b的最小值为2，h(x)x3x2ax2x，h(x)3x22xa23a.当a时，h(x)3x22xa20对x1，)恒成立，h(x)在1，)上单调递增；当0a时，由h(x)3x22xa20，得x1， h(x)在1，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增题型三 利用导数解应用题例3 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的
9、报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件： 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加； 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%； 报销的医疗费用不得超过8万元(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y0.05(x24x8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型yx2lnxa(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln20.69，ln102.3)解：(1) 函数y0.05(x24x8)在2，10上是增函数，满足条件；当x10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件；但当x3时，y0得x0且x1)(1) 若函数f(x)在(1，)上为减函数，求实数a的最小值；(2) 若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围解：(1) 因为f(x)在(1，)上为减函数，故f(x)a0在(1，)上恒成立，所以当x(1，)时，f(x)max0. 又f(x)a2a2a, 故当，即xe2时，f(x)maxa.所以a0，于是a，故a的最小值为 (2) (解法1)命题“若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于“当xe，e2时，有f(x)minf(x
