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1、 今 天 多 几 分 钟 的 努 力 ， 明 天 多 几 小 时 的 快 乐 ！ 何 乐 而 不 为 ！教 师 辅 导 讲 义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：九年级 学科教师：汪老师授课日期及时段课 题初中数学总复习几何三大变化对称学习目标教学内容初中数学总复习几何三大变化对称轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变
2、换的知识，是中考数学的必考内容。结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。【一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：】例1、（2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 例2、（2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图、图所示的方式依次对折后，再沿图中的虚线裁剪 最后将图中的纸片打开铺
3、平，所得到的图案是【 】 A B C D例3、（2012福建龙岩12分）如图1，过ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折 痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再将BED和CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C 两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为ABC的边BC上的折合矩形 （1）若ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为 ； （2）如图4，已知ABC，在图4中画出ABC的边BC上的折合矩形EFGH； （3）如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=2a，那么，BC边上的高AD= ， 正方形EFGH的对角线长
4、为 1、（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展 开后图形是【 】 A B C D2、（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形【二、线段、角的轴对称性：】例1、（2012海南省3分）如图，在ABC中，B与C的平分线交于点O. 过O点作DEBC，分别交AB、AC 于D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是
5、 . 例2、（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图电信部门要修建一座信号发射 塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发 射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置 （保留作图痕迹，不要求写出画法）1、（2012云南省3分）如图，在中，AD是的角平分线，则CAD的度数为 2、（2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到 斜边AB的距离为 【三、等腰（边）三角形的轴对称性：】例1、（2012福建三明4分）如图，在平面直角
6、坐标系中，点A在第一象限， 点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足 条件的点P共有【 】 A 2个 B 3个 C4个 D5个例2、（2012湖北荆门3分）如图，ABC是等边三角形，P是ABC的平分线 BD上一点，PEAB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q 若BF=2，则PE的长为【 】 A 2 B 2 C D 3例3、（2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点， 且AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= 。1、（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，ABC为等边三角形，点E在BA的延
7、长线上，点D 在BC边上，且ED=EC若ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】 A2 B3 C D 2、（2012湖北孝感3分）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC交AC于点D若AC2， 则AD的长是 3、（2012四川泸州5分）如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE， 使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。求证：AEBC 4、（2012甘肃白银10分）如图，已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60， DC = EF （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD 【四、矩形、
8、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：】例1、（2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更 换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为，则阴影部分的面积为 A.2 B. 3 C. 4 D.5 例2、（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则图中阴影部分 的面积是【 】 A B2 C3 D例3、（2012广东深圳3分）如图，RtABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外 作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5， OC = 6，则另一直角边BC的长为 例4
9、、（2012贵州贵阳10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上（1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长 1、（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、 PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，则S4=2 S2 若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 2、（2012湖北天门、仙桃、潜江、
10、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上， 在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到AME当AB=1时，AME的面积记为 S1；当AB=2时，AME的面积记为S2；当AB=3时，AME的面积记为S3；当AB=n时，AME的面积记 为Sn当n2时，SnSn1= 3、（2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点， 且AEEF，BE=2。 （1）求EC：CF值； （2）延长EF交正方形BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由； （3）在图2的AB边上是
11、否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在， 请说明理由。 【五、等腰梯形的轴对称性：】例1、（2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线ACBD相交于点O，下列结论不一 定正确的是【 】 AAC=BD BOB=OC CBCD=BDC DABD=ACD 例2、（2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0） D点坐标为（0，3），则AC长为【 】 A4 B5 C6 D不能确定例3、（2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、 G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 （1）求证：四边形EFGH为正方形； （2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。 1、（2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E， 连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】 A17 B18 C19 D20 2、（2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，过点D作DFBC于F若AD=2，BC=4， DF=2，则DC的长为 【六、圆的轴对称性：】例1、（2012陕西省3分）如
