《应用四点向量定理与斯坦纳定理解题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用四点向量定理与斯坦纳定理解题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。应用四点向量定理与斯坦纳定理解题浙江省桐乡第二中学 范广法 314511 一、四点向量定理与斯坦纳定理对向量,有，从而,，.这样数量积仅用四边形ABCD的四条边AB, BC, CD,AD的长度表示，向量夹角余弦值这类式子不再充斥在表达式中文1将“”称之为四点向量定理考虑到ABC D四点的顺序，笔者的记忆方法是数量积等于.设直线所成的角为，则，文2称“”为斯坦纳定理二、定理的应用1求数量积例1 在中，.若点满足，则 .解析 由四点向量定理得,右边只有不知. 即，又，从而，. 图1 点评 由四点向量定理直接写出数量积的表达式，省去转化成共点向量的数
2、量积的麻烦，特别是试题给出较多的线段长度的试题. 变式1 如图1，在三棱锥中D-ABC中，已知AB=2，=-3. 设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为 .变式2 在ABC中，AB2，AC4，点P为线段BC的垂直平分线上的任意一点，则 .2判断直线是否垂直由四点向量定理或斯坦纳定理得：成立的充要条件是意即平面（或空间）四边形两对角线垂直等价于两组对边的平方和相等例2（2012年浙江高考）已知矩形ABCD，AB1，BC将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，图2A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线A
3、D与直线BC垂直D对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 解析 在矩形ABCD沿直线BD翻折过程中，四边及对角线的长度中只有在变化当没有折叠时最长，这时；当折叠时最短，这时（可由平面几何知识并结合图2推证），从而对选项A, ，显然直线AC与直线BD不垂直；对选项B, ,所以当时直线AB与直线CD垂直，故选B 点评 此题是借折叠问题考查空间想象能力及逻辑推理能力的压轴题，难度较大但用四点向量定理则将垂直关系转化为数量积问题，这样就转化成计算问题，问题简单多了对于选项A，我们可得到任意的四边形在沿对角线折叠过程中的一个不变量，即两对角线对应向量的数量积保持不变变式
4、3 矩形ABCD中，AB2，BC4将ABD沿矩形的对角线BD折起到的位置，在空间四边形中,异面直线与所成角的最大值为( )A B C D 3求两直线所成的角 空间角能较好的集中考查学生的空间想象能力(特别是与翻折问题结合在一起),也是历年来高考必考的热点与难点之一借助于四点向量定理、斯坦纳定理我们可以解决空间角（本文仅涉及两条异面直线所成的角、二面角）大小问题图3 例3（2015年浙江高考）如图3，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_ 解析 易求得，设直线AN，CM所成的角为，则点评 若用几何法，则要充分挖
5、掘各线的位置及数量关系，添加辅助线，找到平面角，然后再计算根据四点向量定理、斯坦纳定理仅要解决的长度即可，有效降低试题难度，比几何法简单多了变式4 在四棱锥M-ABCD中，MA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角例4（2016年浙江高考）如图4，已知平面四边形ABCD，ABBC3， CD1 , AD，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是_图4解析：由四点向量定理得：，即设与的夹角为(显然为锐角，即异面直线与所成角也是)，则，当最小时，与所成角的余弦值最大.又即，所以在翻折过程中的最小值为(此时ACD沿直线AC翻折
6、)，的最大值为图5点评 此题以四点向量定理、斯坦纳定理及上面提到的不变量（）为背景，考查了线线角，向量夹角及函数思想只要得到，与的函数关系立刻就显现出来，的最大值就不攻自破与传统作辅助线方法相比，难度与计算量都下降了很多变式5（2015年10月浙江学考）如图5，在菱形ABCD中，BAD=60，线段AD，BD的中点分别为E，F现将ABD沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4 求二面角图6下面再来看看用四点向量定理如何求解二面角例5（2015年浙江高考）如图6，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()AADB BADBCACB DACB 解析 如图6，作AFCD于F，BECD于E，D是AB的中点，故DEDF由题意得，则,而,从而再考虑到余弦函数在上的单调性，选B点评 关键是ADB等于的夹角，平面角等于的夹角，然后再用四点向量定理解决两角余弦值的大小问题 参考文献：1刘才华.如何应用四点向量定理J.数理天地(高中版)，2016（5）：5-7.2邓赞武.余弦定理的向量式及其应用J.数学通讯，2006（13）：17-18. /
