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1、例谈通过数学解题教学提高学生的思维能力 数学教学的目的之一是培养学生的思维品质，提高学生的思维能力，使学生在学习数学基础知识的同时，不断发现数学的思维过程，学到其思维方法，从而学会独立探索，有所发现，有所创新，以便更好的掌握和应用知识 数学的思维训练通常是以解题教学为中心展开的没有一定量的题练，固然达不到练就过硬解题本领的要求，但“题海之战”也未必培养出高素质、高能力的学生，反而加重他们的负担，带来负面影响，这与素质教育是相悖的 笔者认为，数学解题中，应就题目的目标、内容、结构、特征等采用一题多解、多题一解、一题多变、一题多用、一题多联，进行不同方面、不同角度、不同层次的分析、探索，其效果必胜
2、于“宁多勿缺”的大运动量的机械重复一、一题多解，培养思维的发散性【例1】求函数的最大值解法一：结合正、余弦函数的有界性，构建关于函数值y的不等式：解得：，即函数最大值为注意：角的范围是否能使取到1或1解法二：针对和的不同名称，采用“减元”的方法：，由二次方程的实根分布解得函数最大值为解法三：根据函数式的结构特征，联想直线的斜率公式：，可以把y看作点P(，)与点Q(2，0)连线的斜率k，因为，故动点P的轨迹是单位圆的上半部分，而过点Q(2，0)的直线y=k(x+2)与此轨迹要有公共点，便有，解得：，即函数最大值为 值得注意的是，一题多解的价值不是为了使学生知道这道题可以有多种解法，而在于使学生学
3、会从不同角度、不同方位去审视、去思考，从而沟通知识之间的纵横联系，激发学生的求知欲，达到训练和培养发散性思维能力的目标要实现这一目标，需教师引导学生找准发散点，并及时的调整否则可能造成学生的迷惘和失意，甚至失去兴趣，不利于教学的进程二、多题一解，培养思维的聚敛性【例2】设关于x的方程在(0，+)上有解，求实数a的取值范围【例3】设关于x的方程有解，求实数a的取值范围【例4】设关于x的不等式有解，求实数a的取值范围【例5】设关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围 经过分析、比对，虽然上述例2到例5的数学情景不同，分别以二次方程、三角方程、三角不等式的“面孔”出现，但其本质特征通过两个变量的相互
4、关系，寻找其中一个变量的取值（范围）是相同的，所以都可以用分离法解决 略解例5如下： 恒成立对恒成立， 的最大值为1，故所求a的取值范围是(1，+) 多题一解需要学生有一定的类比、观察能力，对学生掌握基本数学技能和解题规律性有着一定的积极作用，能达到做一题，会一类；用一法，解多题的效果，有利于求同思维的发展，培养学生聚敛性思维能力但也不可使思维过于僵化，否则反而会走入死胡同三、一题多变，培养思维的探索性【例6】已知是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，又，试求实数a的取值范围 本题综合了函数的奇偶性、单调性及解不等式，内涵丰富从这一“模型”出发，可作如下变更： 1、对原题中的“”和
5、“”都能定号，改为不全能定号变题1：已知是定义在R上的偶函数，且在区间(，0上单调递增，又，试求实数a的取值范围 分析：由于“”不能定号，便需进行讨论，或根据是偶函数，有，得，解得：或，进一步加深对函数的奇偶性、单调性的理解 2、隐去原题中已知的单调性、奇偶性变题2：已知函数的定义域为R，对任意，都有成立，当时，且对所有均成立，求实数a的取值范围 分析：令，得，再令，便可得，又定义域为R，故是奇函数设，则，即，得是R上的递增函数。结合单调性、奇偶性便可得对任意恒成立，令，当且仅当时取等号，故 通过对条件的变更，训练学生学会分析，发现并利用函数性质解题的思维习惯 3、变确定型问题为探索型问题变题
6、3：已知函数的定义域为R，是偶函数，且在2，+）是减函数，试问与满足什么关系时才有？ 分析：由是偶函数，可得的图象关于直线x=2对称又在2，+）是减函数，则在（，2上递增，再确定“”“”的范围各自为（，1和（，2要得到即，考察“”与“”的大小，因为，结合单调性，应有 在较好的选择“模型题”的基础上，通过对题设、结论、形式、甚至背景做一些适当的引申和变化，能增强学生的应变能力和求解能力，对训练和培养学生的积极探索、创新精神大有裨益四、一题多用，培养思维的深刻性【例7】设函数，求证：在(0，1上是减函数，在1，+)上是增函数(证明略)这种函数单调性的用途非常广泛，如：【例8】已知，求证： 分析：由
7、得：，令，由例7结论知在上递增，在1，10上递减，故，即 引申：设函数，求证：在(0，上是减函数，在，+)上是增函数(证明略)【例9】设函数（1）若，求的最小值；（2）若，求证：略解：（1），当且仅当时取等号（2），因为，故，由单调性可得五、一题多联，培养思维的创造性【例10】已知椭圆C：的两焦点为F1、F2，如果C上存在一点Q使F1QF2Q，求椭圆离心率e的变化范围 1、鉴于椭圆上点与两焦点连线，可联椭圆略解：由| QF1 | + | QF2 | = 2a，| QF1 |2+| QF2 |2 = 4c2，可得：，即，解得：，又椭圆离心率，故 2、由F1QF2Q，可联直线的斜率略解：设，有，即，又Q点在椭圆上，有，联立得：，由，解得：，又椭圆离心率，故 3、因为Q点对定线段张直角，可联Q点的轨迹是以F1F2为直径的圆略解：因为F1QF2Q，所以Q点的轨迹方程为，与椭圆方程联立，可得：，即，以下仿上述2，得 4、由椭圆的扁圆程度和离心率变化的对应关系，可联运动变化略解：由，可知离心率变大则椭圆变扁当Q点位于椭圆短轴端点时，F1QF2为等腰直角三角形，此时，要使椭圆上存在点Q满足F1QF2Q，椭圆可由此临界状态变扁，故
