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1、插值与拟合1. 观察直接利用拉格朗日插值多项式的病态性实验目的：如果直接利用拉格朗日插值多项式的的定义，即确定系数，就必须解方程该方程的系数矩阵为范德蒙（Vandermonde）矩阵，它是严重病态的，因此这种方法不能使用。本实验的目的是观察这种病态性。实验内容：取不同的n ，并在0，1区间上取n个等分点，计算上述系数矩阵A的条件数，画出(cond(A)）n之间的曲线。（可利用MatLab的库函数cond完成）实验算法：（源程序）function y=tiaojianshu(x)for i=1:x n=i;B=;A=ones(n+1,1);for j=1:n+1 a(j)=(j-1)/n;end
2、for i=1:n+1 B=B,a(i);endB=B;for k=1:n A=A,B.*A(:,k);endAy=log(cond(A);plot(n,y,.r);xlabel(n); ylabel(1n(cond(A);hold onend实验结果：(cond(A)）n之间的曲线如下：实验说明：随着n的值增大，(cond(A)）也线性增大，即cond(A)呈现指数上升趋势。 当n取一个较大的值时，cond(A)会相当大，方程组呈现变态。2. 牛顿插值法实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。实验内容：给定函数 ，已知： 实验要求：用牛顿插值法求4次Newton插值多项式在2.15处
3、的值，以此作为函数的近似值。实验算法：根据下面方程求出系数 然后列出求的表达式：源程序如下：format longx=2.15;y=0;X=2.0; 2.1; 2.2; 2.3 ;2.4;Y=1.414214;1.449138;1.483240;1.516575;1.549193;A=ones(5,1);B=;C=;for i=1:5 B(i,1)=X(i,1)-X(1,1);endfor i=1:5 B(i,2)=(X(i,1)-X(1,1)*(X(i,1)-X(2,1);endfor i=1:5 B(i,3)=(X(i,1)-X(1,1)*(X(i,1)-X(2,1)*(X(i,1)-X(
4、3,1);endfor i=1:5 B(i,4)=(X(i,1)-X(1,1)*(X(i,1)-X(2,1)*(X(i,1)-X(3,1)*(X(i,1)-X(4,1);endA=A,B;C=linsolve(A,Y);C=C;y=y+C(1)+C(2)*(x-X(1,1)+C(3)*(x-X(1,1)*(x-X(2,1);y=y+C(4)*(x-X(1,1)*(x-X(2,1)*(x-X(3,1);y=y+C(5)*(x-X(1,1)*(x-X(2,1)*(x-X(3,1)*(x-X(4,1)实验结果： y = 1.466288195312503. 拟合方式实验实验目的：学会用最小二乘法求拟
5、合数据的多项式，并应用算法于实际问题。实验内容：给定数据点：00506070809101175196219244271300实验要求： 用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形。 用MatLab的函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合，并用MatLab的有关函数作出其图形。实验算法：（源程序）（1）format longX=0,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0;Y=1,1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00;plot(X,Y,r*);legend(数据点(xi,yi);xlabel(x); ylabel(y);title
6、(数据点(xi,yi)的散点图);hold onsyms x ywucha=0;X=0,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0;Y=1,1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00;n=length(X);B=;A=ones(n,1);接上B=X;A=A,B;B=B.*B;A=A,B;C=linsolve(A,Y)y=C(3)*x2+C(2)*x+C(1)x=-1.00:0.01:1.00y=C(1)+C(2)*x+C(3)*x.2;plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);for i=1:n x=X(i); y=C(1)+C(2)*x+C(3)*x2
7、; subs(y,x,X(i); wucha=wucha+(y-Y(i)2;end wucha x=-1.00:0.01:1.00y=C(1)+C(2)*x+C(3)*x.2;plot(x,y);xlabel(x); ylabel(y);（2）format longsyms x yX=0,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0;Y=1,1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00;xlabel(x); ylabel(y);C=polyfit(X,Y,2)y=C(3)*(x2)+C(2)*x+C(1)hold onn=length(X); f=x.2+x+1;x=-1:0.01:1.0;F=x.2+x+1;plot(X,Y,r*, x,F,b-);legend(拟合曲线y=f(x)实验结果：（1）拟合数据的多项式为：y =x2+x+1平方误差：wucha = 4.437342591868191e-031 （可以认为是0）离散函数和拟合函数的图形（2）拟合数据的多项式为：y =x2+x+1图形如下
