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1、名校精品资料数学g3.1029数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础;假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据.结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化二基本训练1.已知某个命题与正整数有关,如果当时该命题成立,那么可以推得时该命题也成立.现已知时该命
2、题不成立,则( ) A 时该命题成立 B 时该命题不成立 C 时该命题不成立 D 时该命题成立2用数学归纳法证明2nn2 (nN,n5),则第一步应验证n= ;3用数学归纳法证明:时, ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是 . 三、例题分析例1:已知,证明:.例2、求证：例3.是否存在正整数m使得对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。若不存在说明理由。例4.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.例5.设f(k)满足不等式的自然数x的个数（1）求f(
3、k)的解析式；（2）记，求的解析式；（3）令，试比较与的大小。三、课堂小结1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法;2用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范;3两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是一凑假设,二凑结论四、作业 同步练习g3.1029数学归纳法1若f（n）=1+ （nN*），则当n=1时，f（n）为 （A）1（B）（C）1+ （D）非以上答案2用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是 （A）1（B）1+a（C）1+a+a2（D）1+a+a2+a33.用数学归纳法证明1,
4、则从k到k1时,左边应添加的项为 (A) (B) (C) (D) 4某个命题与自然数n有关，如果当n=k（kN*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得 （A）当n=6时该命题不成立； （B）当n=6时该命题成立（C）当n=4时该命题不成立 （D）当n=4时该命题成立5. 则Sk+1 = (A) Sk + (B) Sk + (C) Sk + (D) Sk + 6由归纳原理分别探求：(1)凸n边形的内角和f(n)= ;(2)凸n边形的对角线条数f(n)= ;(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆
5、分平面区域数f(n)= .为真，进而需验证n= ，命题为真。7用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n123(2n1)(nN),从“k到k+1”左端应增乘的代数式为 .8.是否存在常数a,b,c,使得等式122232n(n1)2(an2bnc)对一切自然数n成立？并证明你的结论.9. 求证：（）10. 11已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中nN,n3,试比较AN与Bn的大小.答案基本训练 1.C 2. 5 3. 例题分析1.证明:用数学归纳法证明.(1)当时,左边=,右边,等式成立;(2)假设当时等式成立,即有:.那么当时,左边=右边;所以当时等式也成立
6、.综合(1)(2)知对一切,等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当时向目标式靠拢是关键.2.证明：（1）当n=1时，原不等式成立（2）设n=k时，原不等式成立即成立，当n=k+1时， 即n=k+1时，命题成立综合（1）、（2）可得：原命题对恒成立。3.证明：由得，由此猜想m=36下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，显然成立。（2）假设n=k时，f(k)能被36整除，即能被36整除；当n=k+1时，由于是2的倍数，故能被36整除，这就说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除由（1）（2）可知对一切正整数n都有能被36整除，m最大值为36。4.解: (1)当时,一个圆
7、把平面分成两部分,此时, 即命题成立;(2)假设当时命题成立,即个圆把平面分成个部分.那么当时,这个圆中的个把平面分成个部分.第个圆被前个圆分成条弧,这条弧中的每一条把所在的部分分成了2块,这时共增加个部分,故个圆把平面分成个部分,这说明当时命题也成立. 综上所述,对一切,命题都成立.例5.设f(k)满足不等式的自然数x的个数（1）求f(k)的解析式；（2）记，求的解析式； （3）令，试比较与的大小。5.解：（1）原不等式（2）（3）n=1时，；n=2时， n=3时，；n=4时，n=5时，；n=6时，猜想：时下面用数学归纳法给出证明（1） 当n=5时，已证（2）假设时结论成立即那么n=k+1时，而在范围内，恒成立则，即由（1）（2）可得，猜想正确，即时，综述：当n=2,4时，当n=3时，n=1或时，。作业 15、CCDCC9.证： 时 左右 假设时 成立 即： 当时 左 即：命题成立综上所述 由对一切命题成立. 10. 分析：
