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1、5.3 平面向量的数量积及平面向量的应用核心考点精准研析考点一平面向量的数量积的基本概念及运算1.(2018全国卷II)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0【解析】选B.因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2a2-ab=21-(-1)=3.2.(2019皖南八校联考)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,则(a+2b)a=.【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45,所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos 45=1+.答案:1+【一题多解】坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与
2、b的夹角为45,可设a=,b=(1,0),则a+2b=,(a+2b)a=+=1+.答案:1+3.(2020合肥模拟) 已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a+b|=,则a在b方向上的射影等于.【解析】因为|a|=1,|b|=2,|a+b|=,所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=5+2ab=3,所以ab=-1,所以a在b方向上的射影为=-.答案:-平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(3)对于
3、数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.考点二平面向量的数量积在几何中的应用【典例】1.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为.2.已知O,N,P在ABC所在平面内,且|=|=|,+=0,且=,则点O,N,P依次是ABC的()A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)【解题导思】序号联想解题1看到“=-4”,想到和分别用,来表示2看到三个题设条件,想到ABC的“三心”【解析】1.=32cos 60=3,=+,则=(-)=3+4-9-3=-4=.
4、答案:2.选C.由|=|=|知,O为ABC的外心;由+=0知,N为ABC的重心;因为=,所以(-)=0,所以=0,所以,即CAPB,同理APBC,CPAB,所以P为ABC的垂心.1.平面向量中数量积的三种求法(1)利用定义求解.(2)利用向量的坐标运算求解.(3)利用向量数量积的几何意义求解.2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:(1)+=0,则点O为三角形的重心.(2)|=|=|,则点O为三角形的外心.(3)=,则点
5、O为三角形的垂心.(4)|+|+|=0,则点O为三角形的内心.1.(2020济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=(1-)+(1-)+(1+2),R,则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,因为=(1-)+(1-)+(1+2),所以=2(1
6、-)+(1+2)=+,又+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过ABC的重心.考点三 平面向量数量积的综合应用命题精解读1.考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题;(2)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.2.怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.学霸好方法1.在求向量的模时,一定要注意公式|a|= 的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是
7、充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解. 平面向量的模【典例】1.(2019全国卷)已知=(2,3), =(3,t),|=1,则= ()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选C.因为=-=(1,t-3),又因为|=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以=(1,0),所以=2.2.已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=(0yb),
8、当y=b时,|+3|取得最小值5.答案:5 1.求向量的模有哪些方法?提示:(1)公式法,利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算.(2)几何法,利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)有哪些方法?提示:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. 平面向量的夹角【典例】1.(2019全国卷)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos=_.【解析】因为c2=(2a-b)2=4a2+5b2-4ab=9,所以|c|=3,因为ac=
9、a(2a-b)=2a2-ab=2,所以cos=.答案: 2.(2020运城模拟)已知平面向量a,b满足a(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角的正弦值为_.【解析】因为a(a+b)=a2+ab=22+21cos=4+2cos=3,所以cos=-,又0,所以sin=.答案: 1.向量夹角问题如何求解?提示:若题目给出向量的坐标表示,可直接运用公式cos = 求解.没有坐标时可用公式cos =.研究向量夹角应注意“共起点”,注意取值范围是0,.2.对于两个不共线的向量,数量积的符号与夹角有何关系?提示:当数量积大于0时,夹角为锐角;当数量积等于0时,夹角为直角;当数量积小于0
10、时,夹角为钝角.平行、垂直问题【典例】1.(2020天津模拟)已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)c,则x=()A.-1 B.-2C.-3 D.-4【解析】选C.因为a=(1,2),a-b=(4,5),所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).又因为c=(x,3),(2a+b)c,所以-13-x=0,所以x=-3.2.(2019全国卷)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.设夹角为,因为(a-b)b,所以(a-
11、b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos =,又0,所以a与b的夹角为.两个非零向量垂直的充要条件有哪些?提示:abab=0x1x2+y1y2=0|a-b|=|a+b|.注意:数量积的运算ab=0ab中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有ab=0,但不能说ab.1.已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|= .【解析】=(a+2b)2=22+222+22=4+4+4=12,所以=2.答案:22.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b的夹角余弦值为.【解析】因为|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4ab+4|b|2,所以ab
12、=-|b|2,令夹角为,所以cos =答案:-3.(2019北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.【解析】因为ab,所以ab=-46+3m=0,所以m=8.答案:81.(2019天津高考)在四边形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=.【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为ADBC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为BAD=30,AB=2,所以AF=2,即=.因为=-=-,所以=(-)=-=25-12-10=-1.答案:-1【一题多解】解答本题还可以用如
13、下方法解决:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.因为ADBC,BAD=30,所以ABE=30,因为AE=BE,所以BAE=30,所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.由得x=,y=-1,所以E(,-1).所以=(,-1)=-1.答案:-12.(2020武汉模拟)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量,若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.-1B.+1C.2D.2-【解析】选A.设e=(1,0),b=(x,y),则b2-4eb+3=0x2+y2-4x+3=0(x-2)2+y2=1.如图所示,a=,b=(其中A为射线OA上动点,B为圆C上动点,AOx=).所以|a-b|min=|CD|-1=-1(其中CDOA).
