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1、单因素方差分析在数理统计中的应用摘要:在详细阐述单因素方差分析原理的基础上，通过两个具体的数学建模案例，说明单因素 方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用Matlab实现了两个案例的求解。在数理统计 的授课过程中，这种结合不仅能激发学生的学习兴趣，而且能培养学生自己动手、解决问题的 能力。关键词:单因素方差分析;数理统计;数学建模;应用;假设检验0引言方差分析又称“变异数分析”或“F检验”，是由R. A. Fisher发明的，用于对两个及两个 以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析是检验在一种因素影响下两个以上总体 的均值彼此是否相等的一种统计方法。由于单因素方差分析的原理抽象、计算繁
2、琐、导致教 学枯燥无味。基于此，文中详细阐述了单因素方差分析的原理，通过两个具体的数学建模案例, 说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系，并利用Matlab实现了两个案例的求解。 在数理统计的授课过程中，这种从理论到应用，再从应用到上机实现的过程,让学生体会到 “学以致用”的真正含义，激发了学生的学习兴趣，同时也提高了学生的动手能力。1单因素方差分析原理设单因素A具有r个水平，分别记为、,、,，*，在每个水平Ai (i =1,2,r)下，要考察 的指标可以看成一个总体Xi (i =1,2,r )且X N( a2),水平Ai (i =1,2,r)下， 进行叫次独立试验，样本记为Xij, i
3、=1,2,r,j =1,2,叫，XN(匕，。2)且相互独立。1. 1 1建立假设1=以r，备择假设为*:】，以2,，r不全相等。11Sni i , n = Sni . , a i = i - 以，i =1,2,，r，贝由于Xij -以i =记丁 二假设检验为H。：以数学模型为：Xij =以 + ai + E ij , i =1,2,，r, j =1,2, , niSni a i =0Eij N (0,。2),各个E ij相互独立，j和。2未知故原假设改写为：H0： a 1 = a2 = =ar =0 (1)1. 2构造统计量为了构造检验假设(1)的统计量,首先,需要找到引起Xij波动的原因。从
4、Xij =以+ ai + Ejj 中可以看出，若检验假设(1)为真，则Xij的波动纯粹是随机性引起的;若检验假设(1)为假，则 Xij的波动是由第i个水平和随机性共同引起的。因而，需要构造一个量来刻画Xij之间的波 动,并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示这就是方差分析中的平方和分解法。1-1记 Xj. = SXij , x = SSXij 引入 ST = ss (Xij -X )= ss(Xij -Xi.)+ ss (Xi.-X )= SE + SA又因为 SA = s (X -i.-X)= s(ai + EE)se = ss = (Xij -Xi )= ss( ij - E i.)o
5、若H0成立,S；只反映随机波动,若禹不成立,SA还反映了 A的不同水平效应a】。单从数值 上看，当H。成立时,SA/ (r -1) SE/ (n - r)1,而当H不成立时,这个比值将远大于1。可 以证明:ST/ a 2 x2 (n -1);SE / a 2 x2(n-r);SA/ a 2 x2(r -1),且 SE 与 SA 相互独 立。故构造统计量 F = (n - r)SA/(r -1)SE F(r -1, n - r)。1. 3对于给定的水平a,确定拒绝域由于H0不真时,SA值偏大，导致F值偏大。因此，1) 若F F1 - a (r -1,n - r)时，拒绝H0,表示因素A的各水平下
6、的效应有显著差异；2) 若F a时接受H02数学建模案例在概率论与数理统计中的应用2. 1案例1让4名学生前后做3份测验卷，得到如表2的分数，推断3份测验卷测试的效果是否有显著 性差异表2学生测试分数表序号试卷A试卷B试卷C学生171.773.472.3学生271.572.672.1学生370.172.370.8学生470.672.271.6解:编写程序如下:clc,clearx = 71. 773. 472. 371. 572. 672. 170. 172. 370. 870. 672. 271. 6;p = anova1(x)x1 = x(:,1);x2 = x(:,2);x3 = x(:
7、,3);h1,p1 = ttest2(x1,x2,0. 05,0)h2,p2 = ttest2(x1,x3,0. 05,0)h1,p3 = ttest2(x2,x3,0. 05,0)求得0. 01 p =0. 0198 0. 05,所以拒绝原假设，说明3份测验卷至少有2份测试的效 果有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分柝得到h1 =1,拒绝原假设,说明第1份测 验卷与第2份测试卷测试的效果有显著性差异,h2 =0,h3 =0,接受原假设,说明第1份测验 卷与第3份测试卷、第2份测验卷与第3份测试卷测试的效果没有显著性差异，又因为p2 =0. 2003, p3 =0. 0754,说明第1份测
8、验卷与第3份测试卷测试的效果更相似。这个案例 为同一时间需要区分A,B卷的出题老师，提供了较好的选择。2. 2案例2从某学校同一年级中随机抽取20名学生，再将他们随机分成4组，在2周内4组学生都用 120分钟复习同一组概率公式,第一组每个星期一复习一次60分钟;第二组每个星期一和三两次各复习30分钟;第三组每个星期二、四、六三次各复习20分钟;第四组每天(星期天 除外)复习10分钟。2周复习之后，相隔2个月再进行统一测验，其结果如表3所示。推断 这4种复习方法的效果之间有没有显著性差异？表3测试成绩表序号第一组第二组第三组第四组124293027226252831320213232428273
9、0335222826630解:编写程序如下: clc,clearx =;x = x(1:5),x(6:10),x(20),x(11:15),x(16:19);g = ones(1,5),2*nes(1,6),3*nes(1,5),4*nes(1,4);p = anova1(x,g)x1 = x(1:5);x2 = x(6:11);x3 = x(12:16);x4 = x(17:20);h1,p1 = ttest2(x1,x2,0. 05,0)h2,p2 = ttest2(x1,x3,0. 05,0)h3,p3 = ttest2(x1,x4,0. 05,0)h4,p4 = ttest2(x2,x
10、3,0. 05,0)h5,p5 = ttest2(x2,x4,0. 05,0)h6,p6 = ttest2(x3,x4,0. 05,0)求得0. 01 p =0. 0140 0. 05，所以拒绝原假设,说明这4种复习方法中至少有2种复 习方法的效果之间有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分柝得到h1 = h4= h5 = h6 =0,接受原假设,说明第1种与第2种、第2种与第3种、第2种与第4种、第3种与第 4种复习方法的效果之间没有显著性差异。而h2=h3=1,拒绝原假设,说明第1种与第3种、 第1种与第4种复习方法的效果之间有显著性差异。案例2说明，复习方法应该采用重复 记忆的方式，一次
11、的复习时间也不能太短。3结语在实际授课过程中，将理论知识条理化，扩充一些理论与实际相结合的例子，对于较复杂的计 算方法利用matlab实现，不仅可以促进学生对理论知识的理解，让学生深刻体会到理论在 实际中的应用，而且可以加强学生的动手操作能力，从而激发学生学习兴趣，更有利于实现应 用型人才的培养目标。参考文献：1 易昆南，程勋杰.“假设检验”决策的误区场由全国大学生数学建模竞赛引发的争论J.重庆理工大学学报(自然科学版)，20132 姜启源，谢金星，叶俊编.数学模型M. 4版.北京:高等教育出版社,2012.3 魏宗舒，等.概率论与数理统计教程M.北京:高等教育出版社，2001.4 吴赣昌.概率论与数理统计M.理工类4版.北京:中国人民大学出版社,2011.
