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1、旋转综合之对角互补模型初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的 添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、也是 最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第 二讲：旋转综合之对角互补模型，希望各位同学能从中收益。基本图形1、如图所示，在等腰 Rt ABC 中，点 O 为斜边 AB 的中点，点 E , F 分别是 AC , BC 上两点， 且 EOF =90若过点 O 分别作 AC , BC 的垂线段，垂足为 M , N ，则 MOE NOF若连接 OC ，则 EOC FOB 2、如图所
2、示，点 D 为 ABC 的平分线 BD 上一点，点 E , F 分别为 AOB 两边上的点，且 ABC +EDF =180过点D 分别作 AB , BC 的垂线段，垂足为 H , G ，则 HDE GDF对角互补模型的解题步骤1、找旋转点（角平分线上的点），构造旋转； 2、证全等、相似；3、利用全等、相似得到边、角的关系例 1 如图 1，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD 的对角线 BD 上滑动，并使 其一条直角边始终经过点 A ，另一条直角边与 BC 相交于点 E （1）求证： PA =PE（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变，（如图 2），且AD =10 ，D
3、C =8 ，求 AP : PE 的值；（3）在（2）的条件下，当 P 滑动到 BD 的延长线上时，如图 3， AP : PE 的值是否发生变化? 无需证明解 （1）如图，过 P 作 PM AB 于点 M ， PN BC 于点 N 则PM =PN ,MPN =APE =90,所以APM =EPN .所以 APM EPN .故AP =PE .（2）过 P 作 PM AB 于 M ， PN BC 于 N则PM AD , PNCD.所以BPM BDA, BNP BCD ,可得PM BP PN= = .AD BD CD所以PM AD 5= = .PN CD 4易证 APM EPN ，所以AP PM 5=
4、 = ,PE PN 4即AP : PE =5: 4.（3） AP : PE 的值不变（理由同（2）例 2 菱形 ABCD 中，两条对角线 AC , BD 相交于点 O ， MON +BCD =180，MON 绕 点 O 旋转，射线 OM 交边 BC 于点 E ，射线 ON 交边 DC 于点 F ，连接 EF（1） 如图，当 ABC =90时， OEF 的形状是_ 转 ，仍满足MO （2）如图，当 ABC =60时，请判断OEF 的形状，并说明理由；（3）如图，在（1）的条件下，将MON 的顶点移动到 AO 的中点 O 处， MO N绕点 O 旋N +BCD =180，射线O M 交直线 BC
5、于点 E ，射线O N 交直线 CD 于点F ，当 BC =4 ，且S 9EF = 时，直接写出线段 CE 的长 S 8ABCD解 （1） OEF 是等腰直角三角形（2） OEF 是等边三角形理由如下：如图，过点 O 分别作 BC , CD 的垂线，垂足为点 G , H 易证EOG FOH (ASA),所以OE =OF ,从而 OEF 是等边三角形 . （3）线段 CE 的长为 3 3 +3 或 3 3 ?3如图，过点 O 分别作 BC , CD 的垂线，垂足为点 G , H 易证EO G H(ASA),所以OE=OF,从而. 是等腰直角三角形 S 9由 EF = 得S 8ABCDO EF=1
6、8,所以O E=O F=6.而 O G=所以34AB =3 ，EG =3 3.当点 E 在射线 CB 上时， CE =CG +EG =3 3 +3当点 E 在射线 BC 上时， CE =CG -EG =3 3 -3 例 3如图，把 EFP 按图所示的方式放置在菱形 ABCD 中，使得顶点 E , F , P 分别在线段AB, AD, AC 上已知 EP =FP =4 ， EF =4 3 ， BAD =60，且 AB 4 3 （1）求 EPF 的大小；（2）若 AP =6 ，求 AE +AF 的值；（3）若 EFP 的三个顶点 E , F , P 分别在线段 AB, AD, AC 上运动，请直接
7、写出 AP 长的最大 值和最小值解 （1）如图，过点 P 作 PG EF 于点 G由题意可得 EG =FG =2 3 ， 所以sin GPE =GE 3= ,PE 2则GPE =60,EPF =2GPE =120.（2）如图，作 PM AB 于点 M ，作 PN AD 于点 N 易证PME PNF ，PAM PAN .所以AE +AF=AM +AN3=2 AP2=6 3.（3） AP 的最大值为 8 ， AP 的最小值为 4当点 A , P 在 EF 异侧时，点 A, E , P, F 四点共圆，如图所示所以当 AP 为该圆直径时， AP 长取最大值此时 PE AB ，所以 AP 长的最大值为AP =2 PE =8;当点 A , P 在 EF 同侧时，点 P 唯一，如图所示此时 APE APF所以AEP =AFP =30,从而可得 AP 长的最小值为AP =PE =4.旋转变换是中考中非常重要的题型，本节课我们重点讲解了对角互补模型，希望各位同学多 加体会、总结，平时遇到类似题目注意应用和练习，下一节我们将重点讲解角含半角模型。
