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1、2007年数学素质能力检测一、选择题（每小题5分，共60分）1.（2002年全国）函数y=x2+bx+c（x0，+）是单调函数的充要条件是 A.b0 B.b0 C.b0 D.b0解析：y=x2+bx+c的对称轴为x=，0.b0.答案：A2.（2004年全国，理11）设函数f（x）= 则使得f（x）1的自变量x的取值范围为A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10解析：当x1时，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.当x1时，f（x）14131x10.综上，知x2或0x10.答案：A3.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）的值为A.0
2、B.C.TD.解法一：由f（）=f（+T）=f（）=f（），知f（）=0.解法二：取特殊函数f（x）=sinx.答案：A4.（2004年上海，文15）若函数y=f（x）的图象与函数y=lg（x+1）的图象关于直线xy=0对称，则f（x）等于A.10x1B.110xC.110xD.10x1解析：y=f（x）与y=lg（x+1）关于xy=0对称，y=f（x）与y=lg（x+1）互为反函数.由y=lg（x+1），得x=10y1.所求y=f（x）=10x1.答案：A5.函数f（x）是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）等于A.B.C.D.解析：由题知f（x）+g（x）=
3、， 以x代x，式得f（x）+g（x）=，即f（x）g（x）=， +得f（x）=.答案：A6.（2004年江苏，11）设k1，f（x）=k（x1）（xR），在平面直角坐标系xOy中，函数y=f（x）的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f1（x）的图象与y轴交于B点，且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于A.3 B. C. D.解析：用k表示出四边形OAPB的面积.答案：B7.F（x）=（1+）f（x）（x0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x） A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：g（x）=1+是奇函数，f（x）是奇函数.答
4、案：A8.（2003年杭州市质检题）当a0时，函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是答案：C9.（2004年全国，12）设函数f（x）（xR）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）等于A.0B.1C.D.5解析：f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）为奇函数，f（1）=，f（1）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（2）.f（2）=2f（1）=1.f（5）=f（3）+f（2）=f（1+2）+ f（2）=f（1）+2f（2）=.答案：C10.设函数f（x）=的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是 A.abcB.acbC.bacD.cab解析：f
5、（0）=0，b=0.f（1）=1，=1.a=c+1.由图象看出x0时，f（x）0，即x0时，有0，a0.又f（x）= ，当x0时，要使f（x）在x=1时取最大值1，需x+2，当且仅当x=1时.c=1，此时应有f（x）=1.a=2.答案：B11.偶函数y=f（x）（xR）在x0时是增函数，若x10，x20且|x1|x2|，下列结论正确的是A.f（x1）f（x2）B.f（x1）f（x2）C.f（x1）=f（x2）D.f（x1）与f（x2）大小关系不确定解析：|x|越小，f（x）越大.|x1|x2|，选B.答案：B12.方程log2（x+4）=3x实根的个数是A.0 B.1C.2 D.3解析：设y=
6、log2（x+4）及y=3x.画图知交点有两个.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2004年浙江，理13）已知f（x）=则不等式x+（x+2）f（x+2）5的解集是_.解析：当x+20时，原不等式x+（x+2）5x.2x.当x+20时，原不等式x+（x+2）（1）525.x2.综上，知x.答案：（，14.设函数f（x）的定义域是N*，且f（x+y）=f（x）+f（y）+xy，f（1）=1，则f（25）= _.解析：由f（x+y）=f（x）+f（y）+xyf（2）=f（1）+f（1）+1=3.f（2）f（1）=2.同理，f（3）f（2）=3.f（25）f（24）=25.f（25）
7、=1+2+3+25=325.答案：32515.（2004年春季上海）已知函数f（x）=log3（+2），则方程f1（x）=4的解x=_.解析：由f1（x）=4，得x=f（4）=log3（+2）=1.答案：116.对于函数y=f（x）（xR），有下列命题：在同一坐标系中，函数y=f（1+x）与y=f（1x）的图象关于直线x=1对称；若f（1+x）=f（1x），且f（2x）=f（2+x）均成立，则f（x）为偶函数；若f（x1）=f（x+1）恒成立，则y=f（x）为周期函数；若f（x）为单调增函数，则y=f（ax）（a0，且a1）也为单调增函数.其中正确命题的序号是_.（注：把你认为正确命题的序号都
8、填上）解析：不正确，y=f（x1）与y=f（1x）关于直线x=1对称.正确.正确.不正确.答案：三、解答题（共6小题，满分74分）17.（12分）函数y=lg（34x+x2）的定义域为M，xM时，求f（x）=2x+234x的最值.解：由34x+x20得x3或x1，M=x|x3或x1，f（x）=322x+222x=3（2x）2+.x3或x1，2x8或02x2.当2x=即x=log2时，f（x）最大，最大值为.f（x）没有最小值.18.（12分）（2003年高考新课程卷）设a0，求函数f（x）=ln（x+a）（x（0，+）的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法
9、及推理和运算能力.解：（x）=（x0）.当a0，x0时，（x）0x2+（2a4）x+a20，（x）0x2+（2a4）x+a20.当a1时，对所有x0，有x2+（2a4）x+a20，即（x）0.此时f（x）在（0，+）内单调递增.当a=1时，对x1，有x2+（2a4）x+a20，即（x）0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内单调递增.又知函数f（x）在x=1处连续.因此，函数f（x）在（0，+）内单调递增.当0a1时，令（x）0，即x2+（2a4）x+a20，解得x2a2，或x2a+2.因此，函数f（x）在区间（0，2a2）内单调递增，在区间（2a+2，+）内也单调递增.令（x）
10、0，即x2+（2a4）x+a20，解得2a2x2a+2.因此，函数f（x）在区间（2a2，2a+2）内单调递减.19.（12分）（2005年春季北京，理20）现有一组互不相同且从小到大排列的数据:a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0.为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工:记T=a0+a1+a5，xn=，yn=（a0+a1+an），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连结点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，5）的折线.（1）求f（0）和f（5）的值；（2）设Pn1Pn的斜率为kn（n=1，2，3，4，5），判断k1、k2、k3、k4、k5的大小关系；（3）证明f
11、（xn）xn（n=1，2，3，4）.（1）解:f（0）=0，f（5）=1.（2）解:kn=an，n=1，2，5.因为a1a2a3a4a5，所以k1k2k3k4k5.（3）证法一:对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+an）=n+（5n）（a1+an）=n（a1+an）+（5n）（a1+an）n（a1+an）+（5n）nan=na1+an+（5n）ann（a1+an+an+1+a5）=nT，所以f（xn）=xn.证法二：对任何n（n=1，2，3，4），当kn1时，yn=（y1y0）+（y2y1）+（ynyn1）=（k1+k2+kn）=xn.当kn1时，yn=y5（y5yn）=1（yn+1yn
12、）+（yn+2yn+1）+（y5y4）=1（kn+1+kn+2+k5）1（5n）=xn，综上，f（xn）xn.20.（12分）（2003年北京）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.（建立坐标系如下图）（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？分析：本小题主要考查函数、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.（1）解：由题设可知，ab0，记h=，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f
13、（y）=2（b2+y2）+（hy）2=3（y）2+h2+2b2.当y=时，函数f（y）取得最小值.点P的坐标是（0，）.（2）解法一：P至三镇的最远距离为g（y）= 由|hy|解得y，记y*=，于是g（y）= 当y*=0，即hb时，在y*，+）上是增函数，而|hy|在（，y*）上是减函数，由此可知，当y=y*时，函数g（y）取得最小值；当y*=0，即hb时，函数在y*，+）上，当y=0时，取得最小值b，而|hy|在（，y*）上为减函数，且|hy|b.可见，当y=0时，函数g（y）取得最小值.当hb时，点P的坐标为（0，）；当hb时，点P的坐标为（0，0）.其中h=.解法二：P至三镇的最远距离为g（y）= 由|hy|解得y，记y*=，于是g（y）= 当y*0，即hb时，z=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y*时，函数g（y）取得最小值.当y*0，即hb时，z=g（y）的图象如图（b），因此，当y=0时，函数g（y）取得最小值.当h
