《高中数学北师大版必修五学案第三章3.2基本不等式与最大小值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版必修五学案第三章3.2基本不等式与最大小值（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()3.2基本不等式与最大(小)值【学习目标】1熟练掌握基本不等式及变形的应用2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.当且仅当时，以上三个西问题导学知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：110 , b0)，并说明什么时候等号成立.a + b梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.当a0, b0时，有_a+ b1 1 ab2_ +a b等号同时成立.知识点二用基本不等式求最值思考 因为X2+ 1 2X,当且仅当X= 1时取等号所以当 X= 1时，(X2+ 1)min
2、= 2.以上说法对吗？为什么？梳理基本不等式求最值的注意事项(1) x, y必须是;求积xy的最大值时，应看和 x+ y是否为;求和x+ y的最小值时，应看积 xy是否为;(3)等号成立的条件是否满足.使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值如果都不是定值，可能出错.题型探究类型一基本不等式与最值例1(1)若x0 ,求函数y= x+4的最小值，并求此时 x的值;x3设0x2，求x +丄匕的最小值；x 21 9已知x0, y0，且 -+-= 1,求x+ y的最小值.x y12跟踪训练1已知x0，求f(x) = 12+ 3x的最小值;x4已知x0 , y0,且2x+ 8y= xy,求x+
3、y的最小值.类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为 100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱 笆最短，最短的篱笆是多少？(2) 一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？ 最低总造价是多少？命题角度2生活中的最优化问题引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉， 则该厂应
4、多少天购买一次面粉，才能使 平均每天所支付的费用最少？例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达 B市，已知两地铁路线长 400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于20 2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要小时.甌当堂训练25 口x 4x+ 51. 已知x，则f(x)=有()2 2x 455A .最大值2B .最小值4C .最大值1D .最小值12. 将
5、一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度A. 6.5 mB. 6.8 mC. 7 mD. 7.2 m11 k3 .设a0, b0,且不等式-+ 1 + - 0恒成立，则实数 k的最小值等于()a b a+ bA. 0 B. 4 C. 4 D . - 254 .已知0x0)的x单调性求得函数的最值.2 .求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.44答案精析问题导学 知识点一1 1思考 t a0, b0, F0,1 abw2 11即1一 w ab（a0, b0），当且仅当-=,即卩a= b时，等号成立. +a b梳理 w
6、w w a = b知识点二思考 错.显然（X2+ 1）min = 1.X2+ 1 2x,当且仅当x= 1时取等号.仅说明抛物线y= x2 + 1恒在直线y= 2x上方，仅在x=1时有公共点.梳理 （1）正数 （2）定值定值题型探究当且仅当(1)当 x042x= x，即x2=4, x=2时取等号.当且仅当2x= 3 2x,即x= 3时，等号成立.3 9函数y= 4x(3 2x)(0x2, x 20 ,二 x += x 2+ 2X 2x 22 寸X 2 )土 + 2 = 6,4当且仅当X 2 = ，即x= 4时，等号成立.x 2x + J的最小值为 6.x 219方法一 - x0, y0, x+
7、y = 1,(19y 9x 3x 3 + y=y(x+y)=x+ - +10 6 + 10= 16,当且仅当9xy，又丄+ 9 = 1x y即x= 4, y= 12时，上式取等号故当 x= 4, y= 12 时，(x+ y)min = 16.方法二由x+ = 1,得(x 1)(y 9) = 9(定值).19由- +-= 1 可知 x1, y9 ,x y x + y= (x 1)+ (y 9) + 10 2 x 1 y 9 + 10= 16 ,当且仅当x 1= y 9 = 3, 即卩x= 4, y= 12时上式取等号,12123x=12,故当 x= 4, y= 12 时，(x+ y)min =
8、16.跟踪训练 1 解(1) /x0, f(x)=乎 + 3x 212当且仅当3x=色即卩x= 2时取等号,x f(x)的最小值为12.(2) - x3, - - x 30, y0, x 80 , y=-x 8 x + y= x + 菖=x+仝二竺x8x 8=(x 8) + 也 + 10x 8/16-2x 8 X+ 10= 18.Vx-816当且仅当x 8=亠，即x= 12时，等号成立.x 8 x + y的最小值是18.8 2 方法二由 2x+ 8y xy= 0及x0, y0,得x+ y=1.=虫 + 空 + 10 2 鱼逖 + 10 = 18.x y; x y当且仅当 取=,即x= 2y=
9、12时等号成立.x y x + y的最小值是18.例2解（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy = 100,篱笆的长为 2(x+ y) m.由一 xy，可得 x+ y2 100, 2(x+ y) 40.当且仅当x= y= 10时等号成立.所以这个矩形的长，宽都为 10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.2xy m .(2)设矩形菜园的长为 x m ,宽为y m,贝U 2(x+ y) = 36, x+ y= 18,矩形菜园的面积为l x+ y 18由，xyw= = 9,可得 xyw 81,当且仅当x= y= 9时，等号成立.所以这个矩形的长，宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面
10、积为81 m2跟踪训练2解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为4 8003xm.又设水池总造价为 y元，根据题意，得y= 150X4 8003+ 120 X (2 X 3x+ 2 X 3 X4 8003x)=240 000 + 720 X1 600 240 000 + 720 X 2=297 600(元),当且仅当x=匸600,即x= 40时，y取得最小值297 600.x所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元.例3解 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管及其他费用为3 X 6x+ 6(x-1) + 6(x- 2
11、)+ + 6X = 9x(x+ 1).设平均每天所支付的总费用为y元，小 1900则 y= ；9x(x+ 1) + 900 + 6X 1 800= 9x+ + 10 809 2.9x 10 809 = 10 989(元),当且仅当9x= 900，即x= 10时，等号成立.x所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 引申探究解设 X1，X2 15 ,+ 8 ），且 XiV X2.则(9X1 + 900+ 10 809) (9X2 + 900+ 10 809)=9(X1 X2)+ 900(-7 1=(X1 X2)9 900X1X29X1X2 900 =(X1丿 15 x1
12、x2,-X1 X2 225,(x1 X2)9X1X2 9001。,IX1X2丿即 y= 9x+900X+ 10 809 在15,+）上为增函数.当x= 15,即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少. 跟踪训练38解析 设这批货物从 A市全部运到B市的时间为t，则400 + 16（20） 40016vt=V =L 4002碍哥=8（小时），当且仅当晋=400，即v = 100时，等号成立，所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.当堂训练1 . D 2.C3.C 4.2 2 54函数y= x + -(x0)在x= 2时取得最小值 4.x/ 0x0,y = 4x(3 2x)= 22x(3 2x)
