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1、第一章、晶体的结构习 题1.以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为:(1) 简立方，冬;(2)体心立方，兀;6 8(3)面心立方，迂兀;(4)六角密积，1!兀；6 6(5)金刚石结构,解答设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体 积的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体4 3n兀 r 3积，则致密度P = 3V(1)对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积,如图1.2所示，中心在1，2，3, 4处的原子球将依次相切，因为、3a = 4r, V = a3,面1.2简立方晶胞晶胞内包含1个
2、原子，所以4兀(-a ) 3兀P =今 2 二 a 36(2) 对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如 图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为*3a二4r,V二a3,晶胞内包含2个原子，所以2*# 兀(-L )3 込P =34 兀a 38图1.3体心立方晶胞(3) 对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积, 如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为2a = 4r,V = a3, 1个晶胞内包含4个原子，所以a图1.4面心立方晶胞图1.6正四面体(4) 对六角密积结构，任一个原子有12
3、个最近邻，若原子以刚性球堆积, 如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原 子与中心在6，7， 8的原子相切，图1.5六角晶胞晶胞内的原子O与中心在1，3, 4, 5, 7，8处的原子相切，即O点与中心 在5, 7, 8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h=-2 a = 2；2 r =332晶胞体积V= ca 2 sin 60 = ca 22一个晶胞内包含两个原子，所以2*# 兀（a ）3、；2P2= 兀.工 ca 262(5) 对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如 图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的0原子与中心在1，
4、2，3，4处的原子相切，因为v3a = 8r,晶胞体积V = a 3,图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以（=8*# 兀（旦 a ）338162在立方晶胞中，画出(102), (021),解答(122)，和(210)晶面。图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。)表示，它们代表3.如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用(hkml一个晶面在基矢的截距分别为仝, a3,在C轴上的截距为 h k m证明：h + k = -m求出 O, A A , A A B B , ABBA 和AAA 四个面的面1313312255135指数。图1.9六角晶胞对称画法解答设d是晶面族(hkml)的面间距
5、，n是晶面族的单位法矢量，晶面族(hklm ) 中最靠近原点的晶面在a a a ,c轴上的截距分别为a /h,a /k,a /m,c/所123123以有a n = hd ,1a n = kd,2a n = md .3因为a = 一(a + a ),323所以a n = 一(a + a ) n。323由上式得到md =(hd + kd).即m = (h + k),由图可得到：O A A晶面的面指数为(112 1)13AABB面的面指数为(1120)1331ABBA晶面的面指数为(1100)2255AAA晶面的面指数为(0001)1354设某一晶面族的面间距为d ,三个基矢a ,a ,a的末端分别
6、落在离原点的距123离为h d ,h d,h d的晶面上，试用反证法证明：h ,h ,h是互质的。123123由已知条件可得设该晶面族的单位法量为 a , a , a123a n = h d, a n = h d, a n - h d,1 1 2 2 3 3假定h ,h ,h 不是互质数，且公约数p丰1即 123h = pk , h = pk , h = pk1 1 2 2 3 3k ,k ,k 是互质的整数，则有 123a n = pk d, a n = pk d, a n = pk d1 1 2 2 3 3今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为r = I a +1 a +1
7、a ,11 2 2 3 3由于 心定是整数，而且r n = d = / a n + / a n +1 a n1 1 2 2 3 3 于是得到pk l + pk l + pk I = 111 2 2 3 3 由上式可得k l + k l + k I =11 2 2 3 3上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p 为不等于1的整数的假定。也就是说，p只能等于1,即h ,h ,h 一定是互质数。1235. 证明在立方晶体中，晶列hkl与晶面（hkl）正交，并求晶面（hkl ）与1 1 1 晶面（h k I ）的夹角。2 2 2解答设d是为晶面族（hkl ）的面间距，n为法向单位矢
8、量，根据晶面族的定 义，晶面族（hkl） 将 ab c分别截为|h|,|k|,|l|等份，即a*n=acos(a,n)=hd, bn=Bcos(b,n)=kd, cn=ccos(c,n)=ld 于是有dddn= hi+ kj +1 kaaa=D (hi+kj+lk)a其中,i jk分别为平行于ab,c三个坐标轴的单位矢量，而晶列hkl的方向矢量为R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由(1), (2)两式得dn=a 2即n与R平行，因此晶列hkl与晶面(hkl)正交。对于立方晶系，晶面(hkl )与晶面(h k l )的夹角，就是晶列1 1 1 2 2 2R = h a+ k b+
9、1 c1 1 1 1与晶列R = h a+ k b+1 c2 2 2 2的夹角，设晶面(hkl )与晶面(hkl )的夹角为申 由1 1 1 2 2 1R R = R HR cos=Jh 2 + k 2 +12 Jh2 + k 2 +12 a2 cos 申121 2 1 11222=h h a 2 + k k a 2 +11 a 21 21 21 2得r h h + k k +11、申=cos -1 ,121212J(h 2 + k 2 +12)(h 2 + k 2 +121112226. 如图1.10所示，B,C两点是面心立方晶胞上的两面心。(1) 求ABC面的密勒指数；(2) 求AC晶列的
10、指数，并求相应原胞坐标系中的指数。解答(1)矢量BA与矢量BC的叉乘即是ABC面的法矢量BA = OA - OB = (a + b)-丄 + c) = (2a + b - c),2 2BC = OC - OB = c + i(a + b)-丄 + c) = i(a + c),2 2 2 11aBA x BC = (2a + b c) x (a + c) =(a 3b c).224因为对立方晶系，晶列 hkl 与晶面族( hkl )正交，所以 ABC 面的密勒指数为(1 31).(2) AC = OC OA = c + -(a + b) (a + b) = -(a + b 2c). 22可见 A
11、C 与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为112 . 由固体物理教程( 1 3)式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系a = a + a + a ,123b = a 一 a + a ,123c = a + a 一 a123晶列(a+b-2c)可化为(a+b-2c)=-2( a + a 一 2a )123由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为1127试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。解答设与晶轴ab,c平行的单位矢量分别为 j 面心立方正格子的原胞基矢可取为a1=2（j+k）,a =(k + j)2 2a a =(i + j).3 2由倒格
12、矢公式72兀a x a 12兀a x a 12兀a x a b =23, b =31, b =+2,1Q2Q3Q可得其倒格矢为2兀.b =(d + j + k),1ab =(i j + k),2a2兀b = (i + j k).3a设与晶轴徵 平行的单位矢量分别为 j，体心立方正格子的原胞基矢可取为ai = (-i + j + k)a = (i - j + k), 22a = (i + j - k).32这说明面以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子 心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式72兀a x a 72兀a x a ,2兀a x a b =
13、23, b =31, b =121Q2Q3Q则得其倒格子基矢为2兀b =(i + k),1a2兀b =(k + i),2a.2兀b =(i + j).3a可见体心立方的倒格子是面心立方。8六角晶胞的基矢3 . a .a = ai +/,2 23 . a .b = ai +/,2 2C = ck求其倒格基矢。解答晶胞体积为Q = a - b x c=(f ai +1 j) - (f ai + j) x (ck)其倒格矢为2兀b x ca * =Q=2兀(- ai + a；) x (ck)x J223a2c2兀(需丄a 32兀c x a b * =Q：3a2=2兀(ck) x (ai + -j) x =22羽a 2 ci + j).2 兀(=(一二a 32兀a x bc * =Q=2兀(ai + a j) x (_ ai + a j) x22223a 2 c2兀7 =kc9 证明以下结构晶面族的面间距：(1) 立方晶系:d = ah 2 + k 2 +12-1,hki(2) 正交晶系:d = (-)2 + (-)2 + (丄)2-1hk1 a b c4 加 2 + k 2 + hk、 /1、
