柯西不等式的证明及其应用5

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1、分类号 商洛学院学士学位论文柯西不等式的证明及其应用作 者 单 位 数学与计算科学系 指 导 老 师 李 会 荣 作 者 姓 名 张 璇 专 业、班 级 数学与应用数学专业09级2班 提 交 时 间 二O一三年五月 目 录第一部分（摘要、关键词、引言、英文翻译）（3）第二部分（正文）（4）1 柯西不等式的证明（4）1.1 数学归纳法证明 （4） 1.2 向量法证明（5） 1.3 构造二次函数证明（5） 1.4 利用恒等式证明（6） 2 柯西不等式在数学中的应用（6） 2.1 柯西不等式在初等数学中的应用（6）2.1.1 巧拆常数（6） 2.1.2 重新安排某些项的次序（7） 2.1.3 改变不

2、等式结构（7） 2.1.4 不等式添项（8） 2.2 柯西不等式在高等数学中的应用（9）2.2.1 柯西不等式在解方程中的应用（9） 2.2.2 柯西不等式在证明不等式中的应用（9） 2.2.3 柯西不等式在求参数范围中的应用 （12） 2.2.4 柯西不等式在三角形及三角函数问题中的应用 （12） 2.2.5 柯西不等式在求最值中的应用 （14） 2.2.6 柯西不等式在求函数极值中的应用 （14） 第三部分（结束语） （16） 第四部分（参考文献） （16） 第五部分（致谢） （17） 柯西不等式的证明及应用张 璇 (数学与计算科学系2009级2班)指导教师 李会荣 讲师摘 要：首先对柯西

3、不等式进行了证明、推广剖析，然后对柯西不等式在初等数学学习中所遇常见问题进行讨论，最后对柯西不等式在证明不等式、求函数值、解方程等高等数学方面的一些应用.关键词：柯西（Cauchy）不等式；初等数学；高等教学Etend And Application Cauchy-Inequalitys AnalysisXuan Zhang Abstract:First of Cauchy inequality is proved, extension analysis, then the Cauchy inequality in elemexntary mathematics learning encoun

4、tered common problems are discussed, finally the Cauchy inequality in proving inequalities, some application asks the function most value, such as solutions of equations of higher mathematics.Key words:Cauchy-inequality, Math-teaching of middle school, Higher mathematics. 高等数学体系中不少地方都有中学教材和教辅读物的雏形和影

5、子，而在中学数学教学中，对不等式的教学一直是一个难点，往往在学习不等式并且在应用不等式解题时感觉到困难重重。我们熟悉的柯西不等式是最著名的不等式之一，如果能巧妙灵活地应用它，就可以使一些相对困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题中有其重要而且独到之处。基于此，本文以柯西不等式为例，在证明方法和应用技巧方面进行总结和归纳，并对它在中学数学中的一些应用作了一些研究.1. 柯西不等式的证明 定义1： 设,则有不等式成立；当且仅当时等号成立.1.1 数学归纳法证明21） 当时，有，不等式成立.当时，不等式左边， 不等式右边，因为，所以，即成立，当且仅当时,即时，

6、等号成立.2） 假设时，不等式也成立，即当且仅当时，等号成立. 当时， 当且仅当时，等号成立，即时等号成立，于是n=k+1时不等式成立. 综上可得对于任意的自然数，柯西不等式成立.1.2 向量法证明4令，则对向量有，又，所以成立，当且仅当时，即平行时等号成立.通过构造向量，利用向量的乘积来证明。恰当、合理的构造向量是关键，有一定的灵活性，当然也有一定的难度，突破它要靠平时多留心、多积累.1.3 构造二次函数证明1 1）当或时，不等式显然成立； 2）令，当中至少有一个不为零时，可知0. 构造二次函数，展开得： 则的判别式，移项得，即 .综上可得对于任意的自然数，柯西不等式成立.1.4 利用恒等式

7、证明 首先用数学归纳法证明如下恒等式，其次再证明柯西不等式，对于两组实数有柯西拉格朗日恒等式 由实数性质可得柯西不等式成立. 以上给出了柯西不等式的几种证法，若进一步深层次剖析此定理，归纳它的应用范围，收获将会更多.2 柯西不等式的应用对柯西不等式的应用最早始于初等数学，利用它能方便地解决一些初等数学和高等数学中的有关问题，对它们也有很好的指导作用.首先我们就以柯西不等式证明不等式为例，谈谈初等数学中有关问题的解题技巧，如巧拆常数、重新安排某些项次序、改变结构、添项等.再次我们对柯西不等式在高等数学中一些简单应用罗列出来，如在解方程中、证明不等式中、求参数范围中的应用等.2.1 柯西不等式在初

8、等数学中的应用2.1.1 巧拆常数11 例1、设为正数且各不相等。求证： 分析：因为均为正且各不相等，所以为证结论正确只需证：,所以只需巧拆. 证明：因为，又均为正且各不相等，所以有： 所以. 注：此不等式左边共有3个因式，当要证的不等式只有两个因式时，可巧妙的在不等式一边乘上一个和为定值的因式，或与要证的不等式中的某个因式有关联的因式，构造成柯西不等式的形式.2.1.2 重新安排某些项得次序6 例2、为非负数， 求证： 分析：观察不等号左边是两个二项式的积，其中、为非负数,，如果分别给每个二项式使用柯西不等式，这样直接做，反而得不到预想结论；如果分别将两个小括号的前后两项调换位置，就能证明结

9、论了.证明：因为、为非负数，所以有 所以.2.1.3 改变不等式结构 例3、若 求证：. 分析：先审题并不能直接使用柯西不等式，但是我们发现改造结构后便可使用了， 因为题目中，则有，这时给原不等式左右同乘以可得：， 所以结论改为，这时就可以使用柯西不等式. 证明：且，所以有 所以. 注：在此例中运用柯西不等式的关键是配凑系数而构造定值，求最值时不可忽视的环节是要检验取得符号的条件.2.1.4 不等式添项4 例4、. 分析：左端变形所以只需证此式即可. 证明：因为且，所以有： 所以.注：从上述几个应用例子中可以明显的看出，柯西不等式的特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，

10、右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只须在解题的时候将原题转化为此种形式，就可以利用柯西不等式来证明.2.2 柯西不等式在高等数学中的应用2.2.1 柯西不等式在解方程中的应用 例5、在实数集内解方程.解：由柯西不等式，得： （1） 并且，所以 = .即（1）式取等号； 由柯西不等式取等号的条件可得： （2） 将（2）式与联立，则有.2.2.2 柯西不等式在证明不等式中的应用 柯西不等式可以直接运用到其他不等式的证明中，运用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并按照柯西不等式的形式进行探索. 例65、设定义在上的函数，若且. 分析：要证，即证: 只需证 证明：由于 又且则有：

11、所以 即 所. 例7、已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数，有不等式. 证明：由柯西不等式得： 则有 .又因为为互不相等的正整数,即最小的数1,次小的数2， 则，所以. 又 且 所以. 注：本例先通过代数变形将问题转化，然后经两次灵活运用柯西不等式，从而使这个复杂的数列不等式问题轻松获解。通过观察，要创设顺利运用柯西不等式的条件. 例87、设则证明 证明：由柯西不等式，对于任意的个实数有 即则 注：在求某些特殊函数最值和不等式证明的过程中，如果不注意公式当中等号成立的条件，就可能出现运算错误.2.2.3 柯西不等式在求参数取值范围中的应用 例9、已知对于满足等式的任意实数，对恒有求实

12、数的取值范围.解：所以要使对恒有，即.注：求某些不等式恒成立时参数的取值范围，通常可以化归为探求值域或最值问题。借助柯西不等式或均值不等式求最值，要特别关注多次符号成立的条件是否相容（即不一定保持一致但要有公共部分）.2.2.4 柯西不等式在三角形及三角函数问题中的应用 例10、设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明. 证明：由柯西不等式得：记为的面积，则 故不等式成立. 例118、求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的倍，即其中为三角形的三边长，为三角形的面积. 证明：由海伦秦九韶面积公式可得：，其中.由柯西不等式可得： 当且仅当即时等式成立.于是 .变形得：，即,所以,当且仅当时等号成立. 例12、在三角形ABC中，证明. 证明：由柯西不等式： 即： （4）