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1、专题20 双曲线一、基础过关题1. (2018高考北京卷)已知椭圆M：，双曲线N：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_【答案】；2利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力2. (2018高考全国卷III)设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为（ ）AB2CD 【答案】C【解析】， ；又因为，所以；在中，；在中，.3. (2018高考天津卷) 已知
2、双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线，即，ACDB是梯形，F是AB的中点，所以，双曲线的离心率为2，可得，可得：，解得则双曲线的方程为：故选：C画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力4(2016广州联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】A 5(
3、2016全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)【答案】A【解析】方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得()0(其中O为坐标原点)，且|，则双曲线的离心率为()A.1 B.C. D.1【答案】D 7(2016庐江第二中学月考)已知椭圆1(a1b10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线1(a20，b2
4、0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于()A. B1 C. D2【答案】B【解析】由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e21.8(2015课标全国)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x
5、轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)【答案】B 10(2016北京)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.【答案】12【解析】由2xy0，得y2x，所以2.又c，a2b2c2，解得a1，b2.11中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值【答案】(1) 椭圆方程为1，双曲线方程
6、为1；(2) 二、能力提高题1(2016浙江)设双曲线x21的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_【答案】(2，8)【解析】如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.2已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_【答案】 3(2015课标全国)已知F是双曲线C：x
7、21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF的周长最小时，该三角形的面积为_【答案】12【解析】设左焦点为F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周长最小即为|AP|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为1，与x21联立，解得P点坐标为(2,2)，此时SAPFSAF1FSF1PF12.4(2016湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的ABC中，tanBAC，且2，现建立以A点为坐标原点，以BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求AB，AC所在直线的方程
8、；(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；(3)过D分别作AB，AC所在直线的垂线DF，DE(E，F为垂足)，求的值【答案】(1) AC所在直线方程为y2x，AB所在直线方程为y2x.；(2) 双曲线的方程为1.(3) (3)由题意知，BAC，cos，cosBAC，设D(x0，y0)，则1.又点D到AB，AC所在直线距离分别为|，|，|cos，.5.已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F2(2,0)，且ba.(1)求双曲线C的方程；(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M
9、在曲线3(x1)2y23上；(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1) 双曲线C的方程为x21；(2) m(，)(，),证明见【解析】。(3) 不存在实数m，使得AOB为锐角【解析】(1)c2，c2a2b2，4a23a2，a21，b23，双曲线C的方程为x21. 我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。
