《从二项式定理的推导学习数学研究的好习惯》由会员分享，可在线阅读，更多相关《从二项式定理的推导学习数学研究的好习惯（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 从二项式定理推导中学习数学研究的好习惯 在数学中有许多的好习惯左右着我们。影响着我们的研究结果，你知道吗？适当地了解它们，对有志于数学研究的科研人员很有帮助。 好习惯一：经常要用的式子和要进行的演算，总是想尽一切办法找到规律，公式和口诀,并用简洁的文字语言或符号语言表示出来。例如进行如下计算： 我们就会隐约发现它们与一个典型式子有关。如何快速展开？可有简便快捷的方法？ 好习惯二：为解决重要问题而寻找规律并把它推广到一般情况；而寻找规律尊从简单到复杂，从特殊到一般的认识规律。新学科的建立，常常出于一种新方法，而新方法的提出，又常常取决于一个新问题；为明确表述新问题而产生新概念，新概念的提出恰好
2、是新学科的建立关键。正如著名物理学家海森伯所说：“为了理解现象，首要条件是引入适当的概念，只有借助正确的概念，我们才能真正知道我们观察到了什么。”可以这样说：问题是一切科学的心脏。为研究典型式子展开展开的一般规律，我们可以带着目的（我们要寻找什么规律？）采用归纳猜想验证的方法寻找规律（我们看出了什么适用性更广的联系？可否借鉴？）。下面我们观察下面的展开式： 观察多项式的各项：字母的系数有何规律？字母的次数有何规律？规律：（1）字母次数从逐渐降到0，字母正好相反；（2）每项字母的次数和为（3）共有项。（4）系数先增大后减小，成对称排列。通过分析我们发现要快速展开式子的关键是寻找系数之间的联系。因
3、此我们的目标转为思考：它们究竟怎么算出来的？前后之间可有联系？单看一个式子往往不容易找到规律，需要进行式子间的横向比较，从变化和联系中寻找规律。为了把注意力更集中于我们的目标，我们需要排除不必要的干扰直接把系数分离出来列表（为了弄清初开始规律，我们添了两行）：第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 通过观察发现：这个系数三角形（实际上叫杨辉三角形）边界上的数是1而内部的每个数等于它肩上的数之和。如果猜想成立，那么第六行（即的展开项的系数）应为：1，6，15，20，15，6，1我们通过计算来验证这个猜
4、测是否正确：结果证实了猜想正确！我们可以解决求二项式展开式的问题了！可惜美中不足的是当很大时，每求一行的系数须“惊动”其他行，可否找到直接求杨辉数的通用公式？ 伟大的数学家希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。为了找到系数的表达式，我们应进一步分析：由上面我们知道的展开式中，每项所含字母的次数之和为那么关键系数如何确定？先分解看看：展开的某一项，是这个因式中的个中取出相乘，其余个因式取相乘，并将所得的同类项合并后的结果。因此系数A是用这种方法乘出的同类项的个数（即从个事物里，每次取个（余下个）的方法数（又称为组合数，记为）为了推导等于多少，我
5、们设这个事物分别为，现在把它们一个一个地从中取出来，放在有编号的格子里（如图） 1 2 3 m n n-1 n-2 n-m+1从个事物中选出第1个有种可能；从余下个事物中选出第2个共有种可能；从余下个事物中选出第2个共有种可能；最后从余下的个事物中选出第个共有种可能。要把这件事情做完,这个步骤一个都不能少!因此，从这个事物中选出个不同的东西放在有顺序的格子中的方法数是我们要用的中间量，需表示出来。好习惯三：表述规律尽量简洁明了，尽量用最少的符号表示，便于推理。爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性”。简洁性是数学的最基本特点，也是最突出的表现，看起来越是简单，往往越是蕴含了深厚的东西。所以，上
6、面研究的结果可以用表示。所以，从这个事物中选出个不同的东西放在有顺序的格子中的方法数为（）当时；表示把个事物排成一排的不同顺序的方法数。在展开的某一项中，只需要取出个和个相乘，由交换律和结合律，可知，取出的个的顺序不需要考虑，即只是个排列的一种。所以有（）特别地，在做了这些准备工作后，我们终于可以把展开为 （）这个式子由英国物理学家牛顿首先使用，因此，又叫牛顿二项式定理。在展开式中的第项为 这样我们就解决了的展开问题。思考程序为: 有了上面的启示，聪明的你能尝试着把二项式定理推广吗？（1）又如何展开呢？你能说明一般项的含义吗？试写出时的展开式。（2）更一般的多项式的展开，你能思考出来吗？（3）又如何展开呢？
