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1、第三节空间图形的基本关系与公理考纲传真1.理解空间直线、平面位置关系的定义2 了解可以作为推理依据的公理和定理3 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 双基自主测评I 基础知识基本能力全面巩固(对应学生用书第98页)基础知识填充1.空间图形的公理(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平 面内(即直线在平面内).(2) 公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面).(3) 公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的 公共直线.(4) 公理4 :平行于同一条直线的两条
2、直线平行.推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.(5) 等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(1)定义：过空间任意一点 P分别引两条异面直线 a，b的平行线丨1，I2(a/l1，b/ 12)， 这两条相交直线所成的锐角 (或直角)就是异面直线a，b所成的角.（2）范围：知识拓展异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.基本能力自测1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）两个平面a , 3
3、有一个公共点 A,就说a相交于过A点的任意一条直线.（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（4）若直线a不平行于平面 a ,且a a，则内的所有直线与a异面.（答案(1) X (2) V (3) X (4) X2.（教材改编）如图7-3- 1所示，在正方体 ABCDA B CD中，E F分别是AB AD的中点, 则异面直线BC与EF所成的角的大小为（）ftbBiCE BClA. 30C. 60图 7-3-1B. 45D. 903.C 连接 B D, DC,贝 U BD/ EF,故/ =60 .在下列命题中，不是公理的是 （）A.平行于同
4、一个平面的两个平面相互平行DBC为所求的角，又 BD = BC- DC,： / DBCB.过不在同一条直线上的三点，有且只有个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A A不是公理，是个常用的结论， 需经过推理论证；B, C，D是平面的基本性质公理.4. （20 1 6 山东高考）已知直线a, b分别在两个不同的平面 a , 3内，则“直线a和直线b相交”是“平面 a和平面3相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 由题意知a a , b
5、B,若a, b相交，则a, b有公共点，从而 a , 3有公共 点，可得出a , 3相交；反之，若 a ,3相交，则a, b的位置关系可能为平行、相交 或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面 a和平面3相交”的充分不必要条件. 故 选A.5. 若直线a丄b,且直线a/平面a，则直线b与平面a的位置关系是 b与a相交或b a或b/ a题型分类突破I：(对应学生用书第99页)IMU. 1空间图形的公理及应用P例！(1)以下命题中，正确命题的个数是不共面的四点中，其中任意三点不共线；( ) 若点 A, B, C, D共面，点 A, B, C E共面，则 A, B, C, D, E共面; 若直线a
6、, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面.A. 0B. 1C. 2D. 3 如图7-3-2，正方体 ABCDAiBiCD中，E, F分别是 AB和AA的中点求证:A E B图 7-3-2 E, C, D, F四点共面; CE DF, DA三线共点.B (1)中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故正确；中若点A, B, C在同一条直线上，则 代B, C, D, E不一定共面，故错误；中，直线 b, c可能是异面直 线，故错误；中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故错误.如图，连接EF, CD, AB/ E, F分别是AB AA的中点,二 EF
7、/ BA.又 AB/ DC, EF/ CD, E, C, D, F四点共面. EF/ CD, EFCD, CE与 DF必相交，设交点为 P,贝U由P直线CE CE平面ABCD 得P平面ABCD同理P平面ADDAi.又平面 ABCD平面 ADDAi = DA P直线DA CE DF , DA三线共点.规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法：(1) 直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面.(2) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法:明平面a , 3先证明有关的点、线确定平面 重合.a ,再证明其余元素确定平面3 ,最后证2证明点共线问题的常用方法：3证明
8、(1) 基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质I1这些点都在这两个平面的交线上.(2) 纳入直线法：选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.变式训练1(1)(2018 上饶模拟)如图7-3-3所示,在四面体 ABCD作截面PQR若PQ与CB的延长线交于点 M RQ与DB的延长线交于点 N RP与 DC的延长线交于点 K.给出以下命题:D#图 7-3-3直线MN平面PQR 点K在直线MNk； MN, K, A四点共面.其中正确结论的序号为 【导学号：00090240】 由题意知，M PQ N RQ K RR从而点 M N K平面PQR所以直线MN平面P
9、QR故正确.同理可得点 M N, K平面BCD从而点M N, K在平面PQF与平面BCD勺交线上，即点 K在直线因为A?直线MN从而点M N , K, A四点共面，故正确.MNh ,故正确. 如图7-3-4所示，四边形 ABEF和ABCD都是梯形，BC綊?ADBE綊*A G H分别为FA, FD的中点.证明：四边形 BCH(是平行四边形;C, D, F, E四点是否共面？为什么?(1)证明：由已知又BC綊2ad GH綊BC 四边形BCH(是平行四边形.C, D, F, E四点共面，理由如下：1由BE綊，AF, G为FA的中点知BE綊GF四边形BEF创平行四边形， EF/ BG由知 BG/ CH
10、EF/ CH EF与 CH共面.又D FH C, D, F , E四点共面.空间直线的位置关系(1)(2018 金华模拟)已知a, b, c为三条不同的直线， 且a平面a , b平面3 ,若若a不垂直于 c，则 a与b 一定不垂直;若a / b,则必有 a/ C.其中真命题有.(填序号)【导学号:00090241】(2017 郑州模拟)在图7-3-5中，G, H MN分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线)图 7-3-5(1)(2)(1)对于，若c与a, b都不相交,则 c / a,c / b,从而 a / b,这与a与b是异面直线矛盾，故正确. 故错误.直，对于，由a / b可知a/
11、 3,又a n 3 = c,从而a / c,故正确.(2)图中，直线 GH/ MN图中，G H N三点共面，但 M?平面 MN异面；图中，连接 MG GMT HN因此GH与 MN共面；图中， 平面GMN因此 GHW MN异面，所以在图中， GH与MN异面. 规律方法1.异面直线的判定方法：对于，a与b可能异面垂1GHN因此直线GH与G, M N共面，但H?3 = c ,给出下列命题:a与b是异面直线，则 c至少与a，b中的一条相交;(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点 A与平
12、面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2 点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.变式训练2(2018 烟台模拟)a, b, c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若a / M b / M 则a / b或a, b相交或a, b异面；若 b Ma/ b,则a / M 若a丄c ,bc ,贝Ua/b；若a丄M bM贝Ua/B.其中正确的为()B.D.A.C.A 对于，当a/ Mb/ M时，则a与b平行、相交或异面，为真命题.中，b M a/ b,则a/ M或 a M为假命题.命题中，a与b相交、平
13、行或异面，为假命题.由线面垂直的性质，命题为真命题，所以为真命题.ISX3I J异面直线所成的角如图7-3-6，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDABCD中，AA=2AB= 2，则异面直线 AiB与AD所成角的余弦值为（）B.D.(1)D(2)15图 7-3-7(1)连接 BC,易证 BC / AD,A.C.（2018 泸州模拟）如图7-3-7所示，在棱长为 2的正方体 ABCDAiBiCD中，O是底面ABCD勺中心，E F分别是CC, AD的中点，那么异面直线 OE和FD所成角的余弦值等于则/ ABC即为异面直线 AB与AD所成的角.取BC的中点G连接GC,则GC/ FD,再取G
14、C的中点H,连接HE OH/ E是 CC的中点， GC/ EH/ OEH为异面直线所成的角.Bi在厶OEH中 0E=羽，HE=, OioE+eHoH由余弦定理，可得 cos / OE=卅25.2OE- EH2 7 315.5= V-2规律方法i.求异面直线所成的角常用方法是平移法， 图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点 求异面直线所成角的三个步骤：平移方法一般有三种类型：利用）作平行线平移；补形平移.(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.连接 AQ,由 AB= 1, AA= 2,则 AC = p2, AiB= BC=5,在厶ABC中，由余弦定理得cos / ABC =2X&X 店 5证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.
