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1、.人教版九年级上册数学知识点总结21.1 一元二次方程易错点： a0 和a=0 方程两个根的取舍知识点一 :一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数一元，并且未知数的最高次数是2二次的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： 只含有一个未知数； 未知数的最高次数是2； 是整式方程。知识点二 :一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。知识点三 :一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方
2、程过程中验根的依据。21.2 降次解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一 :直接开平方法解一元二次方程（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=.（2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接开平方法。（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子
3、的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二 :配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1） 把常数项移到等号的右边；（2） 方程两边都除以二次项系数；（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4） 假设等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。21.2.2 公式法知识点一 :公式法解一元二次方程（1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(
4、a0)，如果b2-4ac0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的过程。（3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，一般a化为正值 确定公式中a,b,c的值，注意符号； 求出b2-4ac的值； 假设b2-4ac0，那么把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，假设b2-4ac0，那么方程无实数根(有虚数根- 高中学)。知
5、识点二 :一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b2-4ac.0，方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根根的判别式=0，方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根0，方程ax2+bx+c=0(a0)无实数根 21.23 因式分解法知识点一 :因式分解法解一元二次方程（1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2） 因式分解法的详细步骤： 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式
6、的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二 :用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用围直接开平方法 平方根的意义形如x2=p或mx+n2=p(p0)配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法当ab=0，那么a=0或b=0一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。21.2.4 :一元二次方程的根与系数的关系 假设一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,那么有x1+x2=-p,x1x2=q. 假设一元二次方程a2x+bx+c=0(
7、a0)有两个实数根x1,x2,那么有x1+x2=，,x1x2=21.3 实际问题与一元二次方程知识点一 :列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2） 设：是指设元，也就是设出未知数。（3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4） 解：就是解方程，求出未知数的值。（5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6） 答：写出答案。知识点二 :列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1
8、） 数字问题 三个连续整数：假设设中间的一个数为x，那么另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数奇数：假设中间的一个数为x，那么另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，那么这个三位数是100a+10b+c.（2） 增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，那么经过两次的增长或降低 后的等量关系为a12=b。3利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总销 售量；利润=成本利润率4图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表
9、示出来，建立一元二次方程。22. :二次函数知识点归纳一、相关概念及定义1、二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2、二次函数的结构特征：1等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是22是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数各种形式之间的变换1、二次函数用配方法可化成：的形式，其中.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.三、二次函数解析式的表示方法1、一般式：，为常数，；2、顶点式：，为常数，；3、两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.4、注意：任何二
10、次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数图象的画法1、五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点.2、画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.五、 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随
11、的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值六、二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值七、二次函数的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值八、二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值
12、九、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.1、 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.2、对称轴：平行于轴或重合的直线记作.特别地，轴记作直线.3、顶点坐标：4、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.十、抛物线中，与函数图像的关系1 、二次项系数：二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开
13、口方向，的大小决定开口的大小2、一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置3、常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与
14、轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1、公式法：，顶点是，对称轴是直线.2、配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.3、运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：.图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.2顶点式：.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3交点式：图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.十三、直线与抛物线的交点1、轴与抛物线得交点为(0, ).2、与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).3、抛物线与轴的交
