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1、精选优质文档-倾情为你奉上圆锥曲线中点弦公式抛物线中点弦公式抛物线C：x2=2py上，过给定点P=(,)的中点弦所在直线方程为：py-x=p-2。 中点弦存在的条件：2p2（点P在抛物线开口内）。 椭圆中点弦公式椭圆C：x2/a2+y2/b2=1上，过给定点P=(,)的中点弦所在直线方程为： x/a2+y/b2=2/a2+2/b2。 中点弦存在的条件：2/a2+2/b20（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。 二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性不少中数专著或杂志至今还频繁讨论本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并
2、给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式 引理：设两条不同的二次曲线 S：F(x，y)=a11x22a12xya22y22a13x2a23ya33=0 有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成： (证明略) 定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合 证 设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为： L：(a11
3、xa12ya13)k(a12xa22ya23)=f(x，y)=0 因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点 注 两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O故本定理包括了蝴蝶定理众多情形 定理2 设ABCD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等 证 设AB、CD的中点分别为M、N，又ABCD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、
4、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证 注 由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域1和2面积相等1它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如 定理1还可推广得到更一般的结论 定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数 证 不妨取坐标系使确定方向为x轴于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)： L：a11xa12ya13=0 L1
5、：b11xb12yb13=0 L2：(a11xa12ya13)(b11xb12yb13)=0 设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知： a11x0a12y0a13=0，b11x1b12y0b13=0 (a11x2a12y0a13)(b11x2b12y0b13)=0 故 a11(x2x0)=b11(x2x1) (4) 即 OO2/O2O1= (a110时) (5) 其中=b11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定当a11=0时，LL0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列) (5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化 推论 在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质专心-专注-专业
