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1、精品精品资料精品精品资料2.3 等比数列知识梳理1.等比数列的有关概念(1)一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,表示为=q(n1)(q0).(2)若三个数a,G,b满足G2=ab,则G叫做a,b的等比中项.(3)等比数列的通项公式an=a1qn-1.(4)等比数列的前n项和公式2.等比数列的性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数),则aman=apaq.在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.a1an=a2an-1=a3an-2=alan-l+1.(2)当q1时,如果存在一项a0(或0),那
2、么等比数列中的数随项数的增大而增大(或减少).当0q1时,如果存在一项a0(或0),那么等比数列中的数随项数的增大而减少(或增大).当q=1时,等比数列中的数等于同一个常数.当q0时,等比数列中的数不具有单调性.(3)如果数列an是等比数列,那么数列can(c为常数),an-1、|an|也是等比数列,且其中can的公比不变,an-1的公比等于原公比的倒数,|an|的公比等于原公比的绝对值.另外若有m个等比数列,它们的各对应项之积组成一个新的等比数列.知识导学 等比数列与等差数列有很多类似的性质,所以在学习的时候应该把等比数列和等差数列进行类比,从定义到通项公式、前n项和公式、性质以及解决问题的
3、思路都要进行比较.通过复习等差数列的定义和性质去学习理解等比数列的定义和性质,在学习中注意理解等差数列中的“差是一个常数”与等比数列中的“比是一个常数”.并在学习本节知识前复习指数函数y=ax(a0且a1)的图象等有关知识,类比等差数列的通项公式与一次函数的关系来理解等比数列与指数函数的关系.学习的时候应注意区分它们的不同之处.疑难突破1.等比数列概念的理解. 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.要注意理解“公比q0”,等比数列的首项不为0,等比数列的每一项都不为0,即an0;另外,
4、强调“从第2项起”,是为了保证每一项的前一项存在,公比的基本特征是“同一常数”,如果漏掉了“同一”两字,就会破坏等比数列中各项的共同性质.2.等比数列前项和的推导利用了错位相减法,如何理解这一方法? 错位相减法求数列和的实质是把等式两边同乘以等比数列的公比q,得一新的等式,错位相减求出Sn-qSn,这样可以消去大量的“中间项”,从而能求出Sn.当q=1时,Sn=na1;当q1时,Sn=.这是分段函数的形式,分段的界限是q=1. 对于形如xnyn的数列的和,其中xn为等差数列,yn为等比数列,也可以这样求和:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.利用这种方法时,要注意到公式及其他应用问题对公比的分类讨论.若已知q1,求等比数列前n项和的方法一般是利用Sn的表达式的特点;当q=1时,求和就简单多了,这时数列的每一项都相等,直接将这n个相等的数相加即可得.最新精品资料
