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1、第6章 应力与变形分析1016.1拉压杆横截面上的应力1016.2 轴向拉伸或压缩时的变形胡克定律1066.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能1106.4 轴向拉伸或压缩时的强度计算1156.5 应力集中的概念1206.6 剪切和挤压时的应力1216.7 剪切胡克定律1256.8 圆轴扭转时的应力分布规律和强度条件1256.9 弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算1296.10 弯曲变形的概念1356.11 提高梁弯曲强度和刚度的措施138第6章 应力与变形分析本章通过对四种基本变形时构件截面上的应力分布规律的分析，介绍研究材料力学的基本方法；讨论其应力和变形的计算问题；重点研究构件的强度计算；介
2、绍常温、静载下材料的机械性质。6.1拉压杆横截面上的应力6.1.1 应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力FN并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。 要了解受力杆件在截面m-m上的任意一点C处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m处截开，在截面上围绕C点取微小面积A，A上分布内力的合力为p(图6-1a)，将p除以面积A，即 （6-1）pm称为在面积A上的平均应力，它
3、尚不能精确表示C点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值的极限，才真实地反映任意一点C处内力的分布状况，即 （6-2） 上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量（图6-1b），法向分量称为正应力，用s 表示；切向分量称为切应力，用t表示。 将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象拉断和剪切错动相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。应力的单位为“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2, 常用单位为兆帕M
4、Pa，1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。6.1.2 轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力取一等截面直杆，在其侧面作两条垂直于杆轴的直线ab和 cd，然后在杆两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形，此时直线ab、 cd分别平移至ab、 cd 且仍保持为直线（图6-2a）。由此变形现象可以假设，变形前的横截面，变形后仍保持为平面，仅沿轴线产生了相对平移，并仍与杆的轴线垂直。这就是平面假设。根据平面假设，等直杆在轴向力作用下，其横截面间的所有纵向的变形伸长量是相等的。由均匀性假设，横截面上的内力应是均匀分布的(图6-2b)。即横截面上个点处的应力大小相等，其方向与FN
5、一致，垂直于横截面，故横截面上的正应力s可以直接表示为 （6-3）式中， s 正应力，符号由轴力决定，拉应力为正，压应力为负； FN 横截面上的内力（轴力）； 图6-2 A 横截面的面积。例6-1 在例5-2中，设等直杆的横截面面积A=500 mm2，试求此杆各段截面上的应力，并指出此杆危险截面所在的位置。 解: 根据前面已求得的各段轴力，各段截面上的应力为AB段： BC段： CD段： DE段： 由以上计算可知，在BC段应力最大为100 MPa，故BC段各截面为危险截面。 例6-2 一钢制阶梯杆如图6-3a所示。各段杆的横截面面积为：A1=1600 mm2，A2=625 mm2，A3=900
6、mm2，试画出轴力图，并求出此杆的最大工作应力。图6-3 解: （1）求各段轴力 根据式（5-1）得FN1=F1=120 kNFN2=F1F2=120 kN220 kN = 100 kNFN3=F4=160 kN（2）作轴力图 由各横截面上的轴力值，作出轴力图（图6-3b）。（3）求最大应力 根据式（6-3） 得 AB段 （拉应力） BC段 （压应力） CD段 （拉应力） 由计算可知，杆的最大应力为拉应力，在CD段内，其值为178 MPa。例6-3 圆杆上有一穿透直径的槽(图6-4a)。已知圆杆直径d=20 mm，槽的宽度为，设拉力F=30 kN，试求最大正应力（槽对杆的横截面积削弱量可近似按
7、矩形计算）。 解: （1）求内力：杆的轴力图见（图6-4b）FN=F=30 kN （2）确定危险截面面积： 由轴力图可知，受力杆件任意截面上的轴力相等，但中间一段因开槽而使截面面积减小，故杆的危险截面 图6-4应在开槽段，即最大应力应发生在该段，开槽段的横截面积为 （3）计算危险段上的最大正应力：6.1.3 轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力实验证明，拉伸或压缩杆件的破坏，不一定都是沿横截面，有时会沿斜截面发生。为全面分析杆件的强度，了解各种破坏发生的原因，需研究轴向拉伸（或压缩）时斜截面上的应力。 图6-5a表示一等截面直杆，受轴向拉力F的作用。由截面法知FN=F，若杆的横截面面积为A，显然
8、，横截面的正应力s为 图6-5 (a)用一个与横截面成a角的斜截面m-m假想地将杆截分为两段，并研究左段的平衡，运用截面法,可求得斜截面m-m上的内力（图6-5b）为 FNa=FN (b) 由图6-5a的几何关系可知，斜截面m-m的面积为，仿照横截面上正应力均匀分布的讨论，可知斜截面m-m上的总应力pa亦为均匀分布，于是，可得斜截面上各点的应力为 (c)将pa分解为垂直于截面的正应力sa和沿斜截面的切应力ta(图6-5c)，则有 sa= pacosa =s cos2a (6-4) ta= pasina =scosasina =sin2a (6-5) 由上两式可知,sa、ta都是角a的函数，即截
9、面上的应力随截面方位的改变而改变。（1）a = 0时s0=s cos20=s =smaxt0=sin(20)= 0 上式说明，轴向拉（压）时，横截面上的正应力具有最大值，切应力为零。（2）a = 45时s45=s cos245=t45=sin(245)=tmax 上式说明，在45的斜截面上，切应力为最大，此时正应力和切应力相等，其值为横截面上正应力的一半。（3）a =90时s90=s cos290 = 0t90=sin(290)= 0上式说明，杆件轴向拉伸和压缩时，平行于轴线的纵向截面上无应力。应力符号规定如下：sa仍以拉应力为正，压应力为负； ta对杆内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负
10、。由（6-5）式可知，必有，说明杆件内部相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，两者等值且都垂直于两平面的交线，其方向则同时指向或背离交线，即切应力互等定理。6.2 轴向拉伸或压缩时的变形胡克定律轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短），即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相应缩小（或增大），即产生垂直于轴线方向的横向变形。6.2.1 纵向变形设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F的作用下，长度由l变为l1（图6-6a）。杆件沿轴线方向的伸长为 l=l1l拉伸时l为正，压缩时l为负。图6-6 杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除
11、杆件长度的影响，将l除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件变形的程度，称为线应变或相对变形，用e 表示：e = （6-6）e 是量纲一的量，其符号与l的符号一致。6.2.2 胡克定律 实验证明：当杆件横截面上的正应力不超过比例极限（见后文6.3节）时，杆件的伸长量l与轴力FN及杆原长l成正比，与横截面面积A成反比。即引入比例常数E，则上式可写为 （6-7）上式称为胡克定律。 将式（6-3）和（6-6）代入上式，可得s =Ee （6-8）这是胡克定律的另一形式。可表述为：当应力不超过比例极限时，则正应力与纵向线应变成正比。式中的E为材料的弹性模量，与材料的性质有关，其单位与应力相同，常用单位为G
12、Pa。材料的弹性模量由实验测定。弹性模量表示在受拉（压）时，材料抵抗弹性变形的能力。由式（6-7）可看出，EA越大，杆件的变形l就越小，故称EA为杆件抗拉（压）刚度。工程上常用材料的弹性模量见表6-1。6.2.3 横向变形在轴向力作用下，杆件沿轴向的伸长（缩短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大）。设横向尺寸由b变为b1（图6-6b），b= b1-b则横向线应变为 （6-9）e 也是量纲一的量。 6.2.4 泊松比 实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比值称为泊松比，亦称横向变形系数。即 (6-10a)由于这两个应变的符号恒相反，故有e=ne (6-10b)泊松比n 是材料的另一个弹性常数，是量纲一的量，由实验测得。工程上常用材料的泊松比见表6-1。表6-1 常用材料的E和n材料E/GPan碳素钢2002100.240.30合金钢1852050.250.30灰口铸铁801500.230.27铜及
