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1、数列与函数相结合的题型求解方法 在解数列综合题中经常碰到与函数相结合的题目，对于这类题目不少学生感到难度较大，其主要原因是有的学生难以运用函数知识进行解题。本文通过具体的例子来说明这类题型的求解方法。 1与一次函数相结合 例1设数列an的前n项之和是，a, b是常数，且ba。(1)证明：数列an是等差数列； (2)证明：以为坐标的点Pn(n=1,2,3,）都在同一直线上，并写出此直线方程。 （1993年上海高考题） 分析：要证数列an是等差数列，只要证an=kn+t (其中k, t是常数)，即数列的通项是关于n的一次函数即可， Sn=an+bn(n-1), 即 an=a+2(n-1)b，从而数
2、列an的通项是关于n的一次函数，所以数列an是等差数列。 (2)要证以为坐标的点Pn(n=1,2,3,）都在同一直线上， 只要证Pn(n2且nN)与第一点连线的斜率为定值即可。因为 ， 所以，以为坐标的点Pn(n=1,2,3,）都在过(a, a-1)且斜率为的同一直线上， 所以所求的直线方程为，即x-2y+a-2=0。2与二次函数相结合 例2在直角坐标平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),Pn(an,bn),对每一个自然数n,点Pn(an,bn)在函数y=x2的图象上，且点Pn(an,bn),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点Pn(an,bn)
3、为顶点的等腰三角形。 (1)求对每一个自然数n，以点Pn纵坐标构成的数列bn的通项公式； (2)令，求的值。 分析：(1) 由PnA=PnB可得。 又 Pn(an,bn)在函数y=x2的图象上，. (2) , 3与指数函数相结合 例3在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),Pn(an,bn),对每一个自然数n，点Pn(an,bn)在函数y=的图象上，且点Pn(an,bn)，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点Pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。 (1)求点Pn(an, bn)的纵坐标bn的表达式； (2)若对每一个自然数n, 以bn, bn+1
4、, bn+2为边长能构成一个三角形，求a的范围； (3)设Bn=b1b2b3bn(nN+)，若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求Bn的最大项是第几项？ 分析:(1)由于三角形为等腰三角形，所以点Pn(an,bn)在两点(n, 0)与(n+1, 0)连线的中垂线上，从而。又因为点Pn(an, bn)在函数y=的图象上，所以bn=。 (2) 因为函数y=是单调递减函数，所以对每一个自然数n有bnbn+1bn+2。 又因为以bn, bn+1, bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1bn, 从而,即， 解得 (3) 因为且a是整数，所以a=7,因此bn=2000。 又因为Bn=b
5、nBn-1, 于是当bn1时，BnBn-1； 当bn+1Bn+1，所以Bn的最大项的项数n满足bn1且bn+11， 即20001且20001，解得19.8n20.8, 又nN+，所以n=20, 从而Bn的最大项是第20项。 4与对数函数相结合 例4已知函数, (1)n=1,2,3,时，把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a1,a2,a3，an,。 求证：a1+a2+a3+an1; (2)对于每一个n值，设An,Bn为已知函数图象上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标。 解：(1) 原函数可化为， 由，
6、可得, 即。 a1+a2+a3+an=。 (2) An, Bn为曲线上的点与x轴距离为1的点， An(2n, -1), Bn(2-n, 1)。 , 又AnBn中点C到y轴的距离为， 以C为圆心，|AnBn|为直径的圆与y轴相切， 所以这条定直线为x=0,又因为圆心C（）在x轴上，所以切点为(0,0)。 5.与分式函数相结合 例5对任意函数f(x)，xD，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： 输入数据x0D，经数列发生器输出x1=f(x0)；,则发生器结束工作；若x1D，则将x1反馈回输入端，再输入x2=f(x1)，并依此规律继续下去。现定义：f(x)=。 (I)若输入,则由发生器产生数
7、列xn，请写出数列xn的所有项； (II)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； (III)（理）若输入x0时，产生的无穷数列xn满足：对任意正整数n，均有xnxn+1，求x0的取值范围。 （文）是否存在x0，在输入数据x0时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由。（2001年上海高考题）。 分析：(I) f(x)定义域，数列xn只有三项 ： (II) , x2-3x+2=0，即x=1或x=2, 当x0=1或x0=2时，, 故x0=1时，xn=1；x0=2时，xn=2(nN+)。 (III)(理)解不等式，得或1x2。
8、 要使x1x2,则x1-1或1x12。 又f(x)=, 若x14, x3=f(x2)=4-x2，故不合题意。 若1x12，则x2=f(x1)=，且1x2xn (nN)。 综上所述，x1(1,2)由x1=f(x0)得x0(1,2)。 （文）设x00 (nN+)，由得-1x01时，；当0b1时，y=f(x)的定义域为；当0b1时，y=f(x)的定义域为0,+ )。 7与反函数相结合 例7已知函数f(x)= (x2)的反函数为y=f-1(x)，若数列an的前n项之和为Sn(nN+)。对所有大于1的自然数n都有Sn=f-1(Sn-1)，且a1=2，求数列an的通项公式。 分析：因为, 又x2，所以 (
9、x0), 所以。因此， 所以Sn=2n2, 所以, 即an=4n-2。 故数列an的通项公式为an=4n-2。 【例7】 已知数an=(a21)(n32n)(a=1)是递增数列，试确定a的取值范围解法一 数列an是递增数列，an+1anan+1an(a21)(n1)32(n1)(a21)(n32n)(a21)(n1)32(n1)n32n(a21)(3n23n1)(a21)(3n23n1)0又nN*，3n23n1=3n(n1)10a210，解得a1或a1解法二 an是递增数列，a1a2即：(a21)(12)(a21)(84)化简得 a210a1或a1说明 本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已
10、知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题例4已知函数= (x0)中，= 2，=，求数列的通项公式由= x，得= x，即(x1)(x1)= x(x1)x(x1)，的实不动点为x =1或x = 1= 4=3，即= 3，点拨：解函数“不动点”问题，就是解对应方程的根，这是典型的函数与方程思想的具体体现另外，此题运用函数与数列知识之间的交叉和组合，是基础性与综合性的最佳表现形式 例5已知= (x1)，= 10(x1)，数列满足= 2，(= 0，=(n2)(1)求证：数列1是等比数列证明：(= 0，= (1)，= 10(1)，(10(1)(1)= 0，即(1)(101) = 0又= 2，可知对任何nN*，10，所以101 = 0，即=，1是1 = 2为首项，公比为的等比数列例6（1）已知数列中，求的最大值（2）已知函数的反函数为，在数列中，如果，求数列的通项公式解：（1），当时， 递增，当，是递减的，所以最大值为（2），又，是首项为1，公差为1的等差数列， 点拨：欲求的最大值，可先确定数列的单调性，只须比较与大小要求的通项公式，可先确定与的递推关系数列是一类特殊的函数，在解决某些问题时，可借助函数知识和方法求解 /
