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1、 1 数列通项公式的求法1 公式法用公式法求数列通项公式包括三种类型：(1)用等差数列的通项公式求解；(2)用等比数列的通项公式求解；(3)用公式求解题1 (高考重庆卷文科第16(1)题(部分)已知an是首项为1，公差为2的等差数列，求an答案 an2n1题2 (高考湖北卷理科第18(1)题即文科第19(1)题)已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列，求数列an的通项公式答案 an2或an4n2题3 (高考山东卷理科第19(1)题)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，求数列an的通项公式答案 an2n1题4 (高考山东卷文科第19(1)
2、题)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项，求数列an的通项公式答案 an2n题5 (高考全国课标卷I卷文科第17(1)题)已知是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根，求an的通项公式答案 ann1 题6 (高考江西卷理科第17(1)题)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0，令cn，求数列cn的通项公式答案 cn2n1题7 (高考全国大纲卷理科第18(1)题)等差数列an的前n项和为Sn已知a110，a2为整数，且SnS4，求an的通项公式解 由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又SnS4，所
3、以a40，a50，于是103d0，104d0，得d，所以d3得数列an的通项公式为an133n题8 (高考北京卷文科第15(1)题)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列，求数列an和bn的通项公式答案 an3n，bn3n2n1题9 (高考湖南卷文科第16(1)题)已知数列an的前n项和Sn，nN*，求数列an的通项公式答案 题10 (高考江西卷文科第17(1)题)已知数列an的前n项和Sn，nN*，求数列an的通项公式答案 题11 (高考广东卷文科第19(2)题)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n
4、2n)0，nN*，求数列an的通项公式解 可得，所以2 求递推数列的通项公式2.1 型累加法若数列满足递推公式N*)，可用累加法求数列的通项公式： 注 若约定，则可避免分类讨论：N*)所以，由式求得的时的结论一定适合但我们在做解答题时，要注意书写的规范：要么按式来书写；要么按“注”来书写做选择题或填空题时，毋须分类讨论 题12 (高考四川卷理科第8题)数列的首项为3，为等差数列且N*)若，则( )A0 B3 C8 D11答案 B 题13 已知数列满足，求数列的通项公式答案 2.2 型累乘法若数列满足递推公式N*)，可用累乘法求数列的通项公式： 注 若约定，则可避免分类讨论：N*)所以，由求得的
5、时的结论一定适合但我们在做解答题时，也要注意书写的规范做选择题或填空题时，毋须分类讨论 题14 已知数列满足，求数列的通项公式答案 2.3 型可构造等比数列 题15 (高考全国课标卷II理科第17(1)题(部分)已知数列an满足a11，an13an1，求数列an的通项公式解 得是待定的系数)，即令，得所以又因为，所以可得是首项为、公比为3的等比数列，所以，得数列an的通项公式是an注 满足是常数)的数列的通项公式均可用题15的方法(构造等比数列)求得2.4 型两边同除以后再用累加法题16 已知数列满足，求数列的通项公式解 得，所以是首项、公差均为1的等差数列，所以注 求满足是非零常数)的数列的
6、通项公式，可先在两边同除以后再用累加法求得2.5 型也是先构造等比数列题17 已知数列an满足，求数列的通项公式解 得是待定系数)，即令，解得或1当时，得，所以是首项为、公比为的等比数列，得当时，同理可得解关于的方程组，可得题18 已知数列an满足，求数列的通项公式解 同题15的解法，可得是首项为、公比为2的等比数列，得所以，即是首项为、公差为的等比数列，得注 满足是已知数)的数列的通项公式：当时可用题15的方法(构造等比数列后解方程组)求得；当时可用题18的方法(构造等比数列后再构造等差数列)求得2.6 型先取对数题19 已知数列满足 ，求数列的通项公式解 可用数学归纳法证得N*)，所以再由
7、23节介绍的求法，得所以2.7 型先取倒数 题20 已知数列满足，求数列的通项公式解 可用数学归纳法证得N*)，所以可以对两边取倒数，得 得数列是等差数列，所以2.8 型先作变换化成型 题21 已知数列满足，求数列的通项公式解 令，得令，得，所以由27节介绍的求法，可求得，所以2.9 解方程组法 题17的解法就是解方程组法求递推数列的通项公式这里再举一题题22 (普通高中课程标准实验教科书数学5必修A版(人民教育出版社，第3版)第69页第5题的等价问题)已知数列满足，求数列的通项公式解 当时，可得令 得，所以由，得解方程组，得，即数列的通项公式分别为2.10 构造常数列 题23 (高考天津卷理
8、科第22题(部分)在数列中，其前项和满足，求数列的通项公式解 把相减，得所以数列是常数列，再由得数列也是常数列，所以前面的题13及题14用构造常数列的方法也容易求解2.11 三角换元法 题24 已知数列满足, ，求数列的通项公式 解 可用数学归纳法证得N*)，所以可设 由，得 又，所以，得2.12 特征方程法人们总结出了不少递推数列的通项公式都可用特征方程求解，下面介绍是常数)型递推数列的通项公式的求法：把一元二次方程叫做数列的特征方程(1)当时，可设该特征方程的两个不相等的复数根为，则可设数列的通项公式为是待定的常数)；(2)当时，可设该特征方程的两个相等复数根均为，则可设数列的通项公式为是
9、待定的常数)接下来，就可以用待定系数法求解了读者可用这种方法求解题17及题182.13 先猜后证题25 (高考广东卷理科第19题)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式答案 (1)a1=3，a2=5，a3=7(2)由(1)的答案知，可猜测，还可用数学归纳法证得此结论成立，所以数列an的通项公式是注 对于所给数列的递推公式，通过变形后若难以求出数列的通项公式，可以尝试先猜后证这种解法能够成功的关键是猜测正确2.14 验证法题26 (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列的前项和为，已知，且N*)，其中为常数(1)求与的值；(2)证明数列为等差数列；解 (1)(2) N*)， 所以是唯一确定的数列，也是唯一确定的数列又由知，若为等差数列，则，于是容易验证满足式，所以题中的，为等差数列
